sUma expressão algébrica é usada para representar uma constate, uma variável ou uma combinação de variáveis e constantes relacionadas por um número finito de operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, radiciação, potenciação). Exemplos de expressões algébricas são

3x2y2            y      

Uma expressão algébrica envolvendo somente potências não-negativas de uma ou mais variáveis e não contendo variáveis no denominador, é chamada polinômio.

Por exemplo:

2x         x2–3x+1         

são polinômios na variável x.

Exemplos de polinômios nas variáveis x e y são

2x3y2       5x3–8y     

Um termo de um polinômio é uma constante, ou uma constante multiplicada por potências não negativas das variáveis. Um polinômio pode ser considerado como uma soma de um número finito de termos. Por exemplo, no polinômio identificamos três termos: 2x3 , e 5. Além disto, os números 2, e 5 são os coeficientes do polinômio, x é a variável e seu grau é três.

Termos que diferem apenas pelo valor de seus coeficientes constantes são chamados termos semelhantes. Por exemplo, 5x2  e –2x2 são termos semelhantes.

Um polinômio pode ser denominado de acordo com o seu número de termos, isto é, um polinômio de um termo pode ser chamado monômio; de dois termos, binômio e de três termos, trinômio.

Como as variáveis usadas nos polinômios representam números reais, todas as operações entre polinômios são fundamentadas pelas propriedades dos números reais.

Alguns resultados da multiplicação de duas expressões algébricas são particularmente importantes para a matemática.

Estes resultados são chamados Produtos Notáveis. Destacamos:

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
    (a – b)2 = a2  – 2ab + b2
    (a + b)(a – b) = a2 – b2
    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
    (a - b)3 = a3- 3a2b + 3ab2 - b3

As identidades acima, por um lado, fornecem resultados imediatos para as multiplicações indicadas e, por outro, podem ser consideradas maneiras abreviadas de representar alguns polinômios.

Assim, por exemplo, o produto notável (x + 3)2 resulta em x2 + 6x + 9. Equivalentemente, (x + 3)2 é uma forma abreviada de representar o polinômio x2 + 6x + 9. Dizemos que (x + 3)2 é a forma fatorada do polinômio x2 + 6x + 9.

Assim, como fatorar um número é escrevê-lo como produto de outros números, também, fatorar uma expressão algébrica é escrevê-la como produto de outras expressões algébricas.

Nomeamos, a seguir, os casos mais importantes de Fatoração, seguidos de exemplos ilustrativos.

Fator Comum em Evidência

2xy – 6x = 2x(y – 3)

2x = termo colocado em evidência
(y - 3) = quociente de cada termo da expressão pelo fator comum.

Outro exemplo:

10a4b – 5a3b + 15a2b2 = 5a2b(2a2 – a + 3b)

Assim, 5a2b(2a2 – a + 3b) é a forma fatorada de 10a4b – 5a3b + 15a2b2.

 

Agrupamento

ax + ay + bx + by = (ax + ay)(bx + by) - Agrupamos os termos que têm fator comum
                             = a(x + y) + b(x + y)   - Colocamos em evidência os fatores comuns a e b
                              = (x + y)(a + b) - Colocamos em evidência o fator comum (x + y)

Outro exemplo:

x3 + x2 + x + 1 = (x3 + x2) + (x + 1)
                     = x2(x + 1) + (x + 1)
                     = (x + 1)(x2 + 1)

 Assim, (x + 1)(x2 + 1) é uma forma fatorada de x3 + x2 + x + 1.

 

Trinômio Quadrado Perfeito

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Veja que o trinômio é quadrado perfeito pois um de seus termos (2ab) é o dobro do produto das raízes quadradas dos outros dois. ( e ).

De forma análoga:

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

Outros exemplos:

A forma fatorada de x2 + 6x + 9 é (x + 3)2
A forma fatorada de é .

 

Diferença de dois Quadrados

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

Outros exemplos:

A forma fatorada de x2 – 9 é (x – 3)(x + 3).
é a forma fatorada de .

Observações:

  1. Certas expressões admitem a aplicação sucessiva de mais de uma caso de fatoração. Por exemplo: Ao fatorar a expressão 3a2 - 3m2 podemos colocar em evidência o fator comum 3 obtendo, assim, 3(a2 – m2). Esta, por sua vez, apresenta o fator (a2 – m2) que é uma diferença entre dois quadrados. Portanto, a forma fatorada de 3a2 - 3m2 é 3(a – m)(a + m).

    De forma semelhante, para fatorar as expressões seguintes, também são usados dois ou mais casos de fatoração:

x4 – y4 = (x2 + y2)(x2 – y2)
             =(x2 + y2)(x – y)(x + y)

x2 +2xy + y2 –1 = (x2 +2xy + y2) - 1
                             = (x + y)2 - 12
                             = [(x + y) –1][(x + y) + 1]
                              = (x + y –1)(x + y + 1)

  1. A fatoração é de fundamental importância para a simplificação de expressões, principalmente das funções algébricas. Simplificar uma fração algébrica significa encontrar a fração equivalente a ela, na forma mais simples. Esta redução é obtida pela fatoração do numerador e do denominador, cancelando-se os fatores comuns e impondo-se a condição de que os mesmos não sejam nulos. Enfatizamos que "cancelar" os fatores comuns do numerador e do denominador significa dividi-los por aquele fator. Por exemplo:




com x + y ¹ 0 e x - y ¹ 0

  1. Sejam a Î R e bÎ R*, é válido que :

  1. A fatoração é necessária também para a determinação de mínimo múltiplo comum de denominadores na adição e subtração de frações algébricas, bem como na simplificação dos resultados obtidos. Exemplos: Vamos efetuar as operações indicadas pelas expressões algébricas a seguir.