Equações do 1 grau com uma variável

Equação  é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam números desconhecidos.

Exemplo:X + 3 = 12 – 4    

Forma geral:   ax = b, em que x representa a variável (incógnita) e a e b são números racionais,   com a 0. Dizemos que a e b são os coeficientes da equação.(ax = b, é a forma mais simples da equação do 1 grau)

Exemplos:

x - 4 = 2 + 7,  (variável x)  
          2m + 6 = 12 – 3 ,(variável m)    
        -2r + 3 = 31,   (variável r)  
        5t + 3 = 2t – 1 ,  (variável t)
          3(b – 2) = 3 + b,(variável b)    
4 + 7 = 11, (é uma igualdade, mas não possui uma variável, portanto não é uma equação do 1 grau) 
3x – 12 > 13, (possui uma variável, mas não é uma igualdade, portanto não é uma equação do 1 grau)

Obs:

Devemos observar duas partes em uma equação, o 1 membro à esquerda do sinal de igual e o 2 membro à direita do sinal de igual.

Veja: 

Conjunto Universo:Conjunto formado por todos os valores que a variável pode assumir. Representamos pela           letra    U.

Conjunto  Solução:Conjunto formado por valores do conjunto U que tornam a sentença verdadeira. Representamos pela letra  S.

          Exemplo:

        Dentre os elementos do conjunto  F = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, qual deles torna a sentença matemática  
        2x – 4 = 2,   verdadeira.

2(0) – 4 = 2 Errado

2(2) – 4 = 2 Errado

2(3) – 4 = 2 Verdadeiro

2(6) – 4 = 2 Errado

2(8) – 4 = 2 Errado

2(9) – 4 = 2 Errado                                

Devemos observar que o conjunto U = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, e conjunto S = {3}

Sistemas de Equações do 1 Grau

SISTEMACOM DUAS EQUAÇÕES DO 1 GRAU COM DUAS VARIÁVEIS

Resolver umsistema de duas equações do 1 grau com duas variáveis, x e y, por exemplo,significa determinar o único par ordenado (x,y) que é a solução do sistema.Podemos encontrar a solução de um sistema usando os métodos da adição,substituição e comparação.

ExercíciosResolvidos:

1) Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?

Solução:
n + n/2 = 150
2n/2 + n/2 = 300/2
2n + n = 300
3n = 300
n = 300/3
n = 100
Resposta:Esse número é 100.

2)A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 36. Qual é esse número?

Solução:
x - x/5 = 36
(5 x - x)/5 = 36
4x /5 = 36
4x = 36.5
4x = 180
x = 180/4
x = 45
Resposta:Esse número é 45.

3)O triplo de um número é igual a sua metade mais 20. Qual é esse número?

Solução:
3 m = m/2 + 20
6m/2 = (m+40)/2
6m = m + 40
6m - m =
5m = 40
m = 40/5
m = 8
Resposta:Esse número é 8.

4)O triplo de um número, mais 5, é igual a 254. Qual é esse número?

Solução:
3p + 5 = 254
3p = 254 - 5
3p = 249
p = 249/3
p = 83
Resposta:Esse número é 83.

5)O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 99. Qual é esse número?

6)Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idadesserá 72 anos?

7)Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas.Determine o número de bicicletas e de carros.

8)A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a75. Quantos objetos há na caixa?

9)Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 90 empregados sãobrasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?

10)Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos4 brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Qual aquantidade de bolas brancas?

11)Como devo distribuir R$ 438,00 entre três pessoas, de modo que as duasprimeiras recebam quantias iguais e a terceira receba o dobro do que receber asduas primeiras?

12)Ao triplo de um número foi adicionado 40. O resultado é igual ao quíntuplo donúmero. Qual é esse número?

Gráficode uma equação de 1 grau com duas variáveis

Sabemosque uma equação do 1 grau com duas variáveis possui infinitas soluções.

Cadauma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x,y).

Dispondode dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamentenum plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto dassolução dessa equação. Exemplo:

Construir um gráficoda equação x+ y  = 4.

Inicialmente,escolhemos dois pares ordenados que solucionam  essa equação.

1par: A (4, 0)

2par: B (0, 4)

Aseguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.

x

y

4

0

0

4

 

Finalmente,unimos os pontos A e B, determinando a reta  r,que contém todos os pontos soluções da equação.

Areta  ré chamada  reta suporte do gráfico da equação.

 

Sistemasde Equações

Considereo seguinte problema:

Pipoca,em sua última partida, acertou xarremessos de 2 pontos e yarremessos de 3pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3pontos ele acertou?

Podemostraduzir essa situação através de duas equações, a saber:

               x + y= 25         (total de arremessoscerto)

               2x+ 3y= 55     (total de pontos obtidos)

Essasequações contém um sistema de equações.

 

Costuma-seindicar o sistema usando chave.

 

Opar ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado soluçãodo sistema.

Um sistema de duas equações com duas variáveispossui uma única solução.

 

Resolução de Sistemas

Aresolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste emdeterminar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.

Estudaremos a seguir alguns métodos:

 

Métodode substituição

 

Solução

· determinamos ovalor de x na 1 equação.

x= 4 - y

· Substituímosesse valor na 2 equação.

2 . (4 - y)-3y= 3

· Resolvemos aequação formada.

8- 2y- 3y= 3

-2y- 3y= 3

-5y= 5  (-1)

5y= -5

y= 5/3

y = 1

·  Substituímos ovalor encontrado de y,em qualquer das equações, determinando x.

x  +1 =  4

x =  4 - 1

x = 3

· A solução dosistema é o par ordenado (3, 1).

                              V = {(3, 1)}

 

Método da adição

SendoU = Q x Q, observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo métododa adição.

Resolvao sistema abaixo:

 

 

Solução

· Adicionamos membros a membros as equações:

 

2x= 16

x= 16/2

x= 8

· Substituímoso valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y:

8 + y = 10

y = 10 - 8

y = 2

A solução do sistema é o parordenado (8, 2)

V= {(8, 2)}