Período: 430 a.C. aproximadamente

Trigonometria: o início da trigonometria

As origens da trigonometria são incertas. É possível encontrar problemas que envolvem a co-tangente no Papiro Rhind e uma notável tábua de secantes na tábua cuneiforme babilônica Plimpton 332.

O desenvolvimento da trigonometria esta bastante ligado à astronomia.Os astrônomos babilônicos dos séculos IV e V a.C. obtiveram váriasinformações que foram transmitidas para os gregos, foi essa astronomiaprimitiva que deu origem à trigonometria esférica. Foram os gregos que pela primeira vez fizeram um estudo das relaçõesentre ângulos (ou arcos) num círculo e os comprimentos que subtendem.Nas obras de Euclides já existiam teoremas equivalentes a leis oufórmulas trigonométricas.

Seno, Cosseno e Tangente

Em Os elementosé possível encontrar as leis do cosseno para ângulos obtusos e agudos,respectivamente, nas Proposições II.12 e II.13, porém enunciadas emlinguagem geométrica. Hiparco de Nicéiaganhou o direito de ser chamado "o pai da trigonometria" pois nasegunda metade do século II a.C., fez um tratado em doze livros que seocupa da construção do que deve ter sido a primeira tabelatrigonométrica, uma tábua de cordas, Ptolomeu também construiu umatabela de cordas que fornece o seno dos ângulos de 0o a 90o com incrementos de 15".

Evidentemente Hiparco fez estes cálculos para usá-los em sua astronomia. Também parece ter sido Hiparco o primeiro a dividir o círculo em 360ona sua tábua de cordas. Talvez ele tenha tomado a idéia de Hipsiclesque dividiu o dia em 360 partes (inspirado na astronomia babilônica). Teon de Alexandria menciona um tratado de Cordas num círculoem seis livros, escrito por Menelau de Alexandria, que assim comovários outros de seus tratados se perdeu. Felizmente o seu tratado Sphaerica, em três livros, se preservou numa versão árabe.

No Livro I estabelece uma base teórica para estudo dos triângulos esféricos assim como Euclides fez para os triângulos planos, como teoremas usuais de congruência e teoremas sobre triângulos isósceles entre outros. Além disso, contém um teorema que não possui um análogo euclidiano, dois triângulos esféricos são congruentes quando os ângulos correspondentes são iguais (ele não fazia distinção entre triângulos esféricos congruentes e simétricos).

Estabelece-se também o fato de que a soma dos ângulos de um triângulo esféricoé maior que 180o. O Livro II contém teoremas de interesse da astronomia e no livro IIIdesenvolve-se a trigonometria esférica através da proposição conhecidacomo teorema de Menelau: se uma transversal intercepta os lados BC, CA,AB de um triângulo ABC nos pontos L, M, N, respectivamente, então:


Analogamente na trigonometria esférica ao invés deuma transversal temos um círculo máximo transversal interceptando oslados BC, CA, AB de um triângulo esférico ABC, respectivamente nospontos L, M, N e a conclusão correspondente é:

Porém a mais influente e significativa obra trigonométrica da antigüidade foi a Syntaxis matematica,obra escrita por Ptolomeu que contém 13 livros. Este tratado é famosopor sua compacidade e elegância, e para distinguí-lo de outros foiassociado a ele o superlativo magiste ou "o maior". Mais tarde na Arábia o chamaram Almagesto, por designação da lingua, e a partir de então a obra é conhecida por esse nome.