MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

Um veículo saindo do repouso, para atingir uma certa velocidade tem que acelerar, isto é, aumentar sua velocidade de zero a um valor final. Se esse aumento se der de modo uniforme, a aceleração é constante, isto é, a cada segundo que passa a velocidade aumenta de um valor que é sempre o mesmo.

Se a for o valor dessa aceleração, medida em m/s2, a velocidade, a partir de um valor v0, aumenta pelo valo at durante um tempo t dado em segundos, isto é, após t segundos, a velocidade atingiu o valor.

v = v0 + at

A distância que o corpo percorreu, a partir da distância s0, é calculada pela relação (1)

s = s0 + vot + at2/2

(1) a dedução dessa relação requer a utilização de ferramentas matemáticas avançadas.

Caso a velocidade diminua, a aceleração é negativa e pode ser chamada de desaceleração.

O movimento pode se dar sobre uma trajetória retilínea ou curvilínea. As relações são idênticas, a única diferença sendo a forma de se medir a distância e de se interpretar a velocidade e a aceleração. A velocidade corresponde a um VETOR VELOCIDADE sempre tangente à trajetória.

A aceleração acima definida corresponde a um VETOR ACELERAÇÃO TANGENCIAL, sempre tangente à trajetória. No caso de movimento curvilíneo aparece, de novo, a aceleração normal, cujo valor em cada instante é dado pela relação já mencionada v2/R, onde, agora, raio da curva não é necessariamente constante, como no caso de uma circunferência. A essa aceleração corresponde um VETOR ACELERAÇÃO NORMAL e a aceleração vetorial total é a soma da tangencial e da normal, conforme ilustra a Figura 3.1.

FIGURA 3.1 - VETORES ACELERAÇÃO E VELOCIDADE EM MOVIMENTO CURVILÍNEO

No caso de movimento retilíneo, a utilização de vetores se torna desnecessária e aceleração normal desaparece, pois o raio de curvatura de uma reta é infinitamente grande.

COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS

De acordo com a relatividade de Galileo podemos compor dois movimentos em um só ou decompor um movimento em dois independentes. Vejamos alguns exemplos.

Considere um veículo se deslocando em linha reta sobre uma plataforma, digamos uma balsa, com velocidade de 4 m/s, e esse se movendo, também em linha reta, em direção perpendicular ao primeiro movimento, com velocidade de 3 m/s. Qual a velocidade efetiva do veículo e qual a sua trajetória?

Pela Figura 3.2, compondo as velocidades, obtemos uma velocidade efetiva de 5m/s. Como a velocidade é tangente à trajetória e a direção da velocidade resultante é fixa, a trajetória é uma reta também inclinada de cerca de 53o em relação.

FIGURA 3.2 - COMPOSIÇÃO DE DOIS MOVIMENTOS RETILÍNEOS E UNIFORMES

Considere um veículo se deslocando em linha reta sobre uma plataforma, digamos uma balsa, com velocidade de 4 m/s, e essa se movendo, também em linha reta, em direção perpendicular ao primeiro movimento, com velocidade inicial nula e acelerando durante um minuto até atingir a velocidade de 6 m/s. Qual a velocidade efetiva do veículo e qual a sua trajetória, durante o tempo que a balsa acelera?

Neste caso esta se compondo um movimento retilíneo e uniforme com um movimento retilíneo uniformemente acelerado. A aceleração é fácil de calcular, pois pelos dados o aumento da velocidade na unidade de tempo é (6-0)/60 = 0,1 m/s2. Raciocinando como no caso anterior, no instante t as velocidades são v1 = 4 m/s (movimento uniforme) e v2 = 0,1 (movimento acelerado com aceleração 0,1 m/s2). Assim, em cada instante, a velocidade total é dada por

Para o cálculo da trajetória, chamando de Ox a direção do movimento uniforme do veículo e de Oy a direção do movimento acelerado da balsa, as leis de movimento descritas fornecem

x = 4 t

y = (0,01/2) t2

Para as coordenadas do veículo enquanto durar a aceleração. Extraindo o valor de t da primeira equação e substituindo na segunda, se obtém o resultado

y = 0,0003125 x2

Esta é a equação de uma parábola cujo eixo de simetria é o eixo Ou, ilustrada na Figura 3.3.

FIGURA 3.3 - COMPONDO UM MOVIMENTO UNIFORME (EIXO Ox) COM UM MOVIMENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO (EIXO Oy) SE OBTÉM UMA TRAJETÓRIA PARABÓLICA. EM CADA INSTANTE O VETOR VELOCIDADE É TANGENTE À TRAJETÓRIA

O vetor velocidade tem componentes

vx = 4 m/s segundo Ox e vy = 0,01t m/s segundo Oy

No Laboratório Virtual corresponde a se dar uma velocidade horizontal de 4m/ e uma velocidade vertical nula com aceleração de 0,01 m/s2 e registrar a trajetória, além do vetor velocidade.

ALGUNS PROBLEMAS DE MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

Ao se lançar um corpo para cima com velocidade inicial v0=30 m/s, o corpo sobe até uma altura máxima H e depois cai de volta. Isto acontece, pois na subida a aceleração de gravidade age no sentido contrário ao movimento e diminui a velocidade até anulá-la totalmente.

A partir desse instante, o corpo começa a cair e sua velocidade aumenta, pois agora a aceleração de gravidade age a favor do movimento.

Se a influência da resistência do ar for desprezada (não é uma boa aproximação!) o corpo atinge o solo com a velocidade com que foi lançado e o tempo que leva para cair é o mesmo que levou para atingir a altura máxima.

Isso tudo pode ser facilmente verificado utilizando o Laboratório Virtual.

Pelas fórmulas vistas também dá para verificar. Muitas vezes é interessante, em movimentos retilíneos uniformemente acelerados, utilizar uma relação devida ao matemático italiano Torricelli ( ? Torricelli, ), que relaciona a distância percorrida diretamente com as velocidades envolvidas e a aceleração.

A fórmula de Torricelli é

v2 - v02 = 2 a (s-s0)

onde todas as quantidades já foram definidas anteriormente.

No caso do problema proposto, vejamos como se usa essa fórmula de Torricelli na subida do corpo:

No instante inicial s0 = 0 e v0 = 30m/s, enquanto a aceleração é -9,8 m/s2, o sinal menos indicando ação contrária ao movimento.

No instante em que o corpo atinge a máxima altura, s = H e v = 0.

Assim resulta que

-(30)2 = -2 x 9,8 x H

e, portanto, H = 45,92 m.

Para calcular o tempo que levou para subir é só usar a relação

v - v0 = at

onde v0 = 30 m/s e a= - 9,8 m/s2. Obtemos, para o tempo de subida, t = 3,06 segundos.

Na descida, a fórmula de Torricelli corresponde a se tomar s0 = H = 45,92 m, a = 9,8 m/s2 e v0 = 0. Resulta uma velocidade final, no solo, dada por

v2 = 2 x 9,8 x 45,92 ou seja v = 30 m/s

a mesma velocidade com que o corpo foi lançado. O tempo de descida, calculado pela mesma relação de antes, também resulta ser de 3,06 segundos.

Utilizando o Laboratório Virtual, verifique como se alteram os resultados do problema anterior introduzindo a resistência do ar. Deve resultar uma altura menor atingida. E quanto ao tempo de subida e descida?

Um veículo trafega a uma velocidade de 80 km/h quando percebe que o semáforo vai fechar e aplica os freios percorrendo 20 metros até parar. Qual a aceleração (negativa) que os freios aplicaram ao veículo? Quanto tempo passou até parar?

Novamente podemos utilizar a fórmula de Torricelli já vista. Neste caso v0 = 80 km/h = 22,22 m/s, s = 0, s0 = 20 m e a aceleração é a quantidade que se deseja determinar. Temos, assim

(22,22)2 = 2 x a x (0-20)

ou seja

a = -1,11 m/s2

Este problema se resolve também no Laboratório Virtual, aplicando a velocidade inicial e ajustando o valor do atrito até que se verifique a parada do veículo após 20 metros. Entretanto este é um problema de dinâmica e seu desenvolvimento será feito oportunamente. Para os alunos mais adiantados, sendo P o peso do veículo e m o coeficiente de atrito, a força contrária ao movimento é -mP e a aceleração correspondente é -a = -mP/M = -mg onde g é a aceleração de gravidade. Conhecendo o coeficiente m que fez parar o veículo em 20 metros, através de experimento no Laboratório Virtual, é fácil calcular a aceleração pedida.

Em um semáforo o intervalo de tempo entre o amarelo e o vermelho é de 5 segundos. Um motorista se aproxima do semáforo a uma velocidade de 60 km/h e observa o sinal amarelo no cruzamento, a 20 metros de distância. Qual a aceleração (negativa) que ele deve aplicar ao veículo por meio dos freios para parar antes que o sinal feche?

O motorista deve parar percorrendo 20 metros. Novamente aplica-se a fórmula de Torricelli, com v0 = 60 km/h = 16,67 m/s, v = 0, s0 = 20 m, e a aceleração a é a determinar. Assim, resulta que

- (16,67)2 = 2 x a x 20

e

a = - 6,95 m/s2

Quanto tempo levou para parar? Usa-se a relação

v = v0 + a x t = 0

ou seja

t = 16,67 / 6,95 = 2,40  segundos

O motorista chega no cruzamento 2,60 segundos antes que feche o sinal. Mantendo tudo o restante igual, qual a mínima distância admissível para o motorista iniciar a frenagem e parar no cruzamento exatamente quando o semáforo muda para o vermelho?

Este problema, como foi explicado no anterior, também admite solução simples utilizando o Laboratório Virtual. Obtendo o mesmo resultado você irá comprovar todas as leis utilizadas.

Solta-se uma pedra dentro de um poço e ouve-se o ruído do impacto na água 2 segundos após. Qual a profundidade do poço?

Na queda, desprezando a resistência do ar, a pedra move-se em movimento retilíneo uniformemente acelerado, sendo sua aceleração g igual a 9,8 m/s2 que é a aceleração da gravidade. Após o impacto, o som emitido por esse impacto sobe em movimento uniforme com velocidade V de 340 m/s, que é a velocidade aproximada do som no ar em condições normais. Desta feita a profundidade do poço pode ser escrita de duas formas:

H = g t12 / 2 = V t2

onde t1  é o tempo de queda e t2  é o tempo de subida do som, sendo certo que

t1 + t2 = 2 segundos

Substituindo os valores dados resultam as duas equações

t2 = 0,0144 t12

e

t1 + t2 =2

A equação a ser resolvida é

0,0144 t12 + t1 -2 = 0

Interessa apenas a solução positiva que é

t1 = 1,9455 s

Logo t2 = 2-1,9455 = 0,0545 segundos. Assim H = 340 x 0,0545 = 18,5 m, aproximadamente.

Para comprovar este resultado no Laboratório Virtual, faça cair um bloco de uma altura de 18,5 metros e verifique o tempo que leva para chegar ao chão. Tem que dar cerca de 1,95 segundos. Ou imprima a um bloco, sem gravidade, uma velocidade de 340 m/s. Em 0,05 segundos ele deve ter percorrido cerca de 18,5 metros.

É interessante realizar este experimento no Laboratório Virtual incluindo a resistência do ar (ela só atua na queda do corpo).

Um objeto é lançado com velocidade inicial de 30 m/s segundo uma direção inclinada de 60o em relação ao solo horizontal. Determinar o alcance do lançamento, a altura máxima atingida e o tempo para o objeto atingir o solo.

Este é um problema típico de composição de movimentos, conforme foi desenvolvido no item anterior. A aceleração da gravidade (g = 9,8 m/s2 para baixo) age somente no sentido vertical, enquanto no sentido horizontal nada há que possa alterar a velocidade inicial horizontal.

Temos pois dois movimentos: um horizontal retilíneo e uniforme, com velocidade constante e igual à velocidade inicial dada por vx = 30 m/s x cos 60o = 30 x 0,5 = 15 m/s, e outro vertical retilíneo e uniformemente retardado (aceleração negativa de 9,8 m/s2) com velocidade inicial dada por vy0 = 30 m/s x cos 30o = 30 x 0,866 = 25,98 m/s (Ver a Figura 3.2).

A distância percorrida na direção de Ox é dada por x= 15 t e, segundo Oy, por y = 25,98 t - 9,8 t2/2. A velocidade vertical é dada por vy = 25,98 - 9,8 t.

FIGURA 3.4 - LANÇAMENTO DE UM OBJETO SOB A AÇÃO DA GRAVIDADE

Quando o objeto atinge o solo sua cota y é zero o que leva a utilizar a relação y = 25,98 t - 4,9 t2 = 0. Claramente t=0 é uma solução, pois foi nesse instante que o objeto foi lançado da cota zero. A outra solução é dada por 25,98 - 4,9 t = 0, ou seja, t(impacto) = 5,302 segundos.

Na direção horizontal o objeto andou a distância x = 15 t(impacto) = 79,531 metros, que é o alcance procurado. A altura máxima atingida corresponde ao instante em que a velocidade vertical se anula, isto é, vy = 25,98 - 9,8 t = 0.

Essa altura máxima é atingida no instante dado por 25,98 = 9,8 t, ou seja, t(máxima altura) = 2,651 segundos, exatamente a metade do tempo que o objeto leva para voltar ao solo. Assim, a altura máxima atingida é dada por H = 25,98 tM - 4,9 tM2 = 34,44 metros.

Vemos assim que os movimentos em que foi decomposto o movimento do objeto podem ser tratados de forma independente, mantendo entre si, apenas, a relação temporal.

No Laboratório Virtual pode-se simular esse movimento de duas maneiras: lançando um corpo de qualquer massa com a velocidade especificada e acompanhando as componentes da velocidade e a posição, ou resolvendo dois problemas de movimentos de dois corpos, um uniforme e outro uniformemente acelerado, transferindo dados de um para outro.

Foi dito "um corpo de qualquer massa". De fato, o alcance e a altura atingida somente dependem da velocidade inicial imprimida ao corpo, desde que a resistência do ar não seja levada em conta, mas essa só depende da forma do corpo.

Foi o que Galileo mostrou deixando cair dois objetos de massa diferente do topo da torre de Pisa. Ambos chegaram juntos ao solo. Naquele tempo se pensava o contrário e, até hoje, infelizmente, essa idéia permanece no meio das pessoas.

Um bom experimento é repetir a experiência de Galileo, sem e com resistência do ar, no Laboratório Virtual.

Outro experimento interessante é introduzir a resistência do ar no problema e ver como a altura máxima e o alcance diminuem.

A RELAÇÃO ENTRE O MOVIMENTO CIRCULAR E O MOVIMENTO RETILÍNEO

Já analisamos o problema de um ponto se movendo sobre uma trajetória circular e descrevendo, assim, um movimento circular.

É o caso de uma pessoa sentada em uma cadeira de uma roda gigante, do movimento da extremidade dos ponteiros de um relógio, de uma pedra amarrada à ponta de um barbante quando feita girar. Novamente, ilustramos as quantidades relevantes de um movimento circular na Figura 3.5.

Neste parágrafo, é nossa intenção mostrar que, operacionalmente, um movimento circular é idêntico a um movimento retilíneo, exceto pelo conceito de aceleração normal.

O ponto P descreve a circunferência de raio R e, no instante t, o arco s descrito a partir de uma origem marcada sobre o eixo Ox mede o espaço percorrido e, nesse instante a velocidade é v, um vetor tangente à trajetória cujo módulo é a velocidade escalar, o espaço percorrido sobre a trajetória na unidade de tempo.

No instante genérico t a aceleração é composta de uma aceleração tangencial, cujo módulo é a aceleração escalar, a variação de velocidade escalar na unidade de tempo, e de uma aceleração normal (centrípeta), dirigida para o centro da trajetória, devida à variação da direção da velocidade do móvel. No instante inicial t0 essas quantidades são s (0), v(0), at e an (0).

Consideramos, apenas, o caso em que a aceleração escalar é constante (inclusive nula). A aceleração normal depende da velocidade e, em geral, será variável.

MOVIMENTO CIRCULAR DE UM PONTO

As relações entre distância percorrida sobre a circunferência, velocidade escalar, aceleração escalar e tempo são idênticas às relações para o movimento retilíneo uniforme ou acelerado, isto é,

v = v(0) + at t

s = s(0) + v(0) t + at t2/2

e nestas a aceleração escalar pode ser nula, resultando um movimento circular uniforme.

A aceleração normal é dada pela relação

an = v2 / R

onde R é o raio da trajetória.

No movimento circular, no lugar de distância sobre a trajetória, podemos usar o ângulo central q subtendido entre o eixo Ox (por hipótese a origem dos ângulos e arcos) e o raio que une o centro da circunferência ao ponto móvel.

Se for utilizado esse ângulo, a sua variação na unidade de tempo é a velocidade angular (w = Dq/Dt), e a aceleração escalar é substituída pela aceleração angular, que é a variação da velocidade angular na unidade de tempo (a = Dw/Dt). Lembramos que o período do movimento é dado por T = 2p /w.

A FREQÜÊNCIA do movimento é o número de voltas completas (ciclos) que o móvel efetua em um segundo. Como leva T segundos para dar uma volta, a freqüência é f = 1/T cps (ciclos por segundo) ou s-1 ou Hertz (Hz). A freqüência de 1 Hz corresponde a um ciclo por segundo, de 1kHz a 1000 ciclos por segundo, de 1MHz a um milhão de ciclos por segundo e assim por diante.

As relações destas quantidades angulares com as escalares são obtidas simplesmente levando em conta que o arco descrito é igual ao ângulo varrido vezes o raio da trajetória. Temos pois:

s = Rq

v = Rw

at = Ra

an = w2 R

As relações entre ângulo descrito, velocidade angular e aceleração angular também decorrem das relações entre arco, velocidade escalar e aceleração escalar, dividindo essas pelo raio da trajetória, isto é,

w = w(0) + a t

q = q (0) + w(0) t + a t2/2

Como único exemplo considere-se um movimento circular uniformemente variado, onde a aceleração angular é de 2 rd/s2, a velocidade angular inicial é de 0,5 rd/s e, no instante inicial o móvel se encontra a uma distância angular de 60o da origem (eixo Ox).

O raio da trajetória é de 2m. Após decorridos 2 minutos, deseja-se saber a posição do móvel sobre a circunferência e sua velocidade angular e escalar, além de sua aceleração normal. Após 2 minutos (120 segundos) temos as relações

w = w(0) + a t = 0,5 + 2 x 120 = 240,5 rd/s

q = q (0) + w(0) t + a t2/2 = p / 3 + 0,5 x 120 + 2 x (120)2 /2 =

= 1,047 + 60 + 14.400 = 14.461,047 rd

O espaço (arco) percorrido é

s = R q = 2 x 14.461,047 = 28.922,094 m.

A velocidade escalar se obtém multiplicando a velocidade angular pelo raio da trajetória, isto é,

v = Rw = 2 x 240,5 = 481 m/s

A aceleração normal se obtém quadrando a velocidade angular e multiplicando pelo raio. Isto é,

an = w2 R = (240,5)2 x 2 = 115.680,5 m/s2

Este problema, e qualquer problema de movimento circular pode ser resolvido pelo Laboratório Virtual, apenas transformando-o em um movimento retilíneo e voltando, depois, para as quantidades angulares pedidas. No exemplo anterior teríamos

s(0) = R q (0) = 2 x 1,047 = 2,094 m

v(0) = R w(0) = 2 x 0,5 = 1 m/s

at = a = R a = 2 x 2 = 4 m/s2

Desta forma, após 120 segundos, o Laboratório Virtual fornece os seguintes valores

s = s(0) + v(0) t + a t2/2 = 2,094 + 1 x 120 + 4 x (120)2/2 =

= 28.922,094 m

v = v(0) + a t = 1 + 4 x 120 = 481 m/s

an = v2/R = (481)2 / 2 = 115.680,5 m/s2

Com estes resultados, calculam-se facilmente as quantidades angulares correspondentes

q = s/R = 28.922,094 / 2 = 14.462,047 rd

w = v/R = 481 / 2 = 240,5 rd/s

A prática corrente de se apresentar o movimento circular de forma independente do movimento retilíneo leva o aluno a pensar que espaço percorrido, velocidade e aceleração escalar são quantidades que dependem da trajetória, o que é um erro grave de conceito. O Laboratório Virtual permite que se recuperem esses conceitos básicos.

É claro que todo movimento circular também pode ser realizado no Laboratório Virtual, operando como antes sugerido: basta conectar um corpo a um cabo fixo na outra extremidade e acionar o móvel, sem esquecer de desativar a gravidade.

EXEMPLO - Desenvolva a equação de Torricelli para um movimento circular uniformemente acelerado e mostre que ela toma a forma
w2 - w02 = 2a (q - q0)

onde os símbolos tem o significado já descrito.

Que outras fórmulas do movimento retilíneo você sabe adaptar ao movimento circular? Tente resolver problemas de movimento circular adaptando-os ao movimento retilíneo e vice-versa.

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES

A projeção sobre um diâmetro de um móvel que descreve um movimento circular uniforme é um movimento harmônico simples. Tomamos como referência a Figura 3.5 que representa um movimento circular uniforme, desde que a aceleração tangencial (escalar) seja nula.
 
O eixo horizontal Ox contém o diâmetro onde a projeção do móvel efetua um movimento por definição harmônico simples. Se o raio da circunferência for A, a abscissa dessa projeção é dada por

x = A cos q = A cos [q (0) + w(0) t] = A cos [q (0) + w t]

pois w é constante e, portanto, sempre igual ao valor inicial w(0).

A projeção da velocidade fornece a velocidade do movimento harmônico simples e é dada por

v(x) = - v sen q = - A w sen [q (0) + w t]

pois a velocidade v do movimento circular é o produto do raio A pela velocidade angular.

A projeção da aceleração normal fornece a aceleração do movimento harmônico simples e é dada por

a(x) = - A w2 cos [q (0) + w t] = - w2 x

Temos aqui um resultado importante

"A aceleração de um móvel em movimento oscilatório de freqüência angular w é, a cada instante, igual a menos o quadrado dessa freqüência pelo deslocamento do móvel".

Em geral, pois, se um corpo se move de forma que sua aceleração for proporcional ao deslocamento multiplicado por um fator negativo, o movimento é oscilatório periódico e a freqüência angular w é a raiz quadrada do valor absoluto desse fator.

EXEMPLO - Em um movimento sobre uma reta a aceleração a(x) do móvel é dada, a cada instante, pela relação a(x) = -25 x. Qual a freqüência angular, a freqüência e o período do movimento?

Pelo que foi visto, a freqüência angular é a raiz quadrada do módulo do coeficiente de x (esse tem que ser negativo), ou seja, w = 25½ = 5 rd/s, o período é T = 2p /w = 6,28/5 = 1,256 segundos. A freqüência é f = 1/T = 1 / 1,256 = 0,796 s-1 (ou cps ou Hertz, este se abreviando Hz).

No Laboratório Virtual você pode realizar um movimento harmônico simples utilizando uma mola de rigidez k (N/m) presa em uma extremidade e apoiada sobre um plano horizontal.

Na outra extremidade prende-se um bloco de massa M que escorrega sem atrito sobre o plano. Deslocando o bloco e esticando a mola, o movimento desse é harmônico.

A freqüência angular nesse caso é igual à raiz quadrada da relação k/M. Se você não conhecer a rigidez e conseguir medir o período (faça um gráfico da posição do bloco em função do tempo), dá para se calcular a rigidez k. Po exemplo, se a massa for de 2 kg e o período (repete a posição do corpo e sua velocidade) resultar ser igual a 5 segundos, então w = 2p /T = 6,28/5 = 1,256 rd/s.

O quadrado desta é w2 = 1,5775 = k/M. Logo a rigidez da mola é k = 1,5775 x M = 1,5775 x 2 = 3,155 N/m. Outros valores podem ser experimentados.