ALGUNS PROBLEMAS DE MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO
Ao se lançar um corpo para cima com velocidade inicial v0=30 m/s, o corpo sobe até uma altura máxima H e depois cai de volta. Isto acontece, pois na subida a aceleração de gravidade age no sentido contrário ao movimento e diminui a velocidade até anulá-la totalmente.
A partir desse instante, o corpo começa a cair e sua velocidade aumenta, pois agora a aceleração de gravidade age a favor do movimento.
Se a influência da resistência do ar for desprezada (não é uma boa aproximação!) o corpo atinge o solo com a velocidade com que foi lançado e o tempo que leva para cair é o mesmo que levou para atingir a altura máxima.
Isso tudo pode ser facilmente verificado utilizando o Laboratório Virtual.
Pelas fórmulas vistas também dá para verificar. Muitas vezes é interessante, em movimentos retilíneos uniformemente acelerados, utilizar uma relação devida ao matemático italiano Torricelli ( ? Torricelli, ), que relaciona a distância percorrida diretamente com as velocidades envolvidas e a aceleração.
A fórmula de Torricelli é
v2 - v02 = 2 a (s-s0)
onde todas as quantidades já foram definidas anteriormente.
No caso do problema proposto, vejamos como se usa essa fórmula de Torricelli na subida do corpo:
No instante inicial s0 = 0 e v0 = 30m/s, enquanto a aceleração é -9,8 m/s2, o sinal menos indicando ação contrária ao movimento.
No instante em que o corpo atinge a máxima altura, s = H e v = 0.
Assim resulta que
-(30)2 = -2 x 9,8 x H
e, portanto, H = 45,92 m.
Para calcular o tempo que levou para subir é só usar a relação
v - v0 = at
onde v0 = 30 m/s e a= - 9,8 m/s2. Obtemos, para o tempo de subida, t = 3,06 segundos.
Na descida, a fórmula de Torricelli corresponde a se tomar s0 = H = 45,92 m, a = 9,8 m/s2 e v0 = 0. Resulta uma velocidade final, no solo, dada por
v2 = 2 x 9,8 x 45,92 ou seja v = 30 m/s
a mesma velocidade com que o corpo foi lançado. O tempo de descida, calculado pela mesma relação de antes, também resulta ser de 3,06 segundos.
Utilizando o Laboratório Virtual, verifique como se alteram os resultados do problema anterior introduzindo a resistência do ar. Deve resultar uma altura menor atingida. E quanto ao tempo de subida e descida?
Um veículo trafega a uma velocidade de 80 km/h quando percebe que o semáforo vai fechar e aplica os freios percorrendo 20 metros até parar. Qual a aceleração (negativa) que os freios aplicaram ao veículo? Quanto tempo passou até parar?
Novamente podemos utilizar a fórmula de Torricelli já vista. Neste caso v0 = 80 km/h = 22,22 m/s, s = 0, s0 = 20 m e a aceleração é a quantidade que se deseja determinar. Temos, assim
(22,22)2 = 2 x a x (0-20)
ou seja
a = -1,11 m/s2
Este problema se resolve também no Laboratório Virtual, aplicando a velocidade inicial e ajustando o valor do atrito até que se verifique a parada do veículo após 20 metros. Entretanto este é um problema de dinâmica e seu desenvolvimento será feito oportunamente. Para os alunos mais adiantados, sendo P o peso do veículo e m o coeficiente de atrito, a força contrária ao movimento é -mP e a aceleração correspondente é -a = -mP/M = -mg onde g é a aceleração de gravidade. Conhecendo o coeficiente m que fez parar o veículo em 20 metros, através de experimento no Laboratório Virtual, é fácil calcular a aceleração pedida.
Em um semáforo o intervalo de tempo entre o amarelo e o vermelho é de 5 segundos. Um motorista se aproxima do semáforo a uma velocidade de 60 km/h e observa o sinal amarelo no cruzamento, a 20 metros de distância. Qual a aceleração (negativa) que ele deve aplicar ao veículo por meio dos freios para parar antes que o sinal feche?
O motorista deve parar percorrendo 20 metros. Novamente aplica-se a fórmula de Torricelli, com v0 = 60 km/h = 16,67 m/s, v = 0, s0 = 20 m, e a aceleração a é a determinar. Assim, resulta que
- (16,67)2 = 2 x a x 20
e
a = - 6,95 m/s2
Quanto tempo levou para parar? Usa-se a relação
v = v0 + a x t = 0
ou seja
t = 16,67 / 6,95 = 2,40 segundos
O motorista chega no cruzamento 2,60 segundos antes que feche o sinal. Mantendo tudo o restante igual, qual a mínima distância admissível para o motorista iniciar a frenagem e parar no cruzamento exatamente quando o semáforo muda para o vermelho?
Este problema, como foi explicado no anterior, também admite solução simples utilizando o Laboratório Virtual. Obtendo o mesmo resultado você irá comprovar todas as leis utilizadas.
Solta-se uma pedra dentro de um poço e ouve-se o ruído do impacto na água 2 segundos após. Qual a profundidade do poço?
Na queda, desprezando a resistência do ar, a pedra move-se em movimento retilíneo uniformemente acelerado, sendo sua aceleração g igual a 9,8 m/s2 que é a aceleração da gravidade. Após o impacto, o som emitido por esse impacto sobe em movimento uniforme com velocidade V de 340 m/s, que é a velocidade aproximada do som no ar em condições normais. Desta feita a profundidade do poço pode ser escrita de duas formas:
H = g t12 / 2 = V t2
onde t1 é o tempo de queda e t2 é o tempo de subida do som, sendo certo que
t1 + t2 = 2 segundos
Substituindo os valores dados resultam as duas equações
t2 = 0,0144 t12
e
t1 + t2 =2
A equação a ser resolvida é
0,0144 t12 + t1 -2 = 0
Interessa apenas a solução positiva que é
t1 = 1,9455 s
Logo t2 = 2-1,9455 = 0,0545 segundos. Assim H = 340 x 0,0545 = 18,5 m, aproximadamente.
Para comprovar este resultado no Laboratório Virtual, faça cair um bloco de uma altura de 18,5 metros e verifique o tempo que leva para chegar ao chão. Tem que dar cerca de 1,95 segundos. Ou imprima a um bloco, sem gravidade, uma velocidade de 340 m/s. Em 0,05 segundos ele deve ter percorrido cerca de 18,5 metros.
É interessante realizar este experimento no Laboratório Virtual incluindo a resistência do ar (ela só atua na queda do corpo).
Um objeto é lançado com velocidade inicial de 30 m/s segundo uma direção inclinada de 60o em relação ao solo horizontal. Determinar o alcance do lançamento, a altura máxima atingida e o tempo para o objeto atingir o solo.
Este é um problema típico de composição de movimentos, conforme foi desenvolvido no item anterior. A aceleração da gravidade (g = 9,8 m/s2 para baixo) age somente no sentido vertical, enquanto no sentido horizontal nada há que possa alterar a velocidade inicial horizontal.
Temos pois dois movimentos: um horizontal retilíneo e uniforme, com velocidade constante e igual à velocidade inicial dada por vx = 30 m/s x cos 60o = 30 x 0,5 = 15 m/s, e outro vertical retilíneo e uniformemente retardado (aceleração negativa de 9,8 m/s2) com velocidade inicial dada por vy0 = 30 m/s x cos 30o = 30 x 0,866 = 25,98 m/s (Ver a Figura 3.2).
A distância percorrida na direção de Ox é dada por x= 15 t e, segundo Oy, por y = 25,98 t - 9,8 t2/2. A velocidade vertical é dada por vy = 25,98 - 9,8 t.
FIGURA 3.4 - LANÇAMENTO DE UM OBJETO SOB A AÇÃO DA GRAVIDADE
Quando o objeto atinge o solo sua cota y é zero o que leva a utilizar a relação y = 25,98 t - 4,9 t2 = 0. Claramente t=0 é uma solução, pois foi nesse instante que o objeto foi lançado da cota zero. A outra solução é dada por 25,98 - 4,9 t = 0, ou seja, t(impacto) = 5,302 segundos.
Na direção horizontal o objeto andou a distância x = 15 t(impacto) = 79,531 metros, que é o alcance procurado. A altura máxima atingida corresponde ao instante em que a velocidade vertical se anula, isto é, vy = 25,98 - 9,8 t = 0.
Essa altura máxima é atingida no instante dado por 25,98 = 9,8 t, ou seja, t(máxima altura) = 2,651 segundos, exatamente a metade do tempo que o objeto leva para voltar ao solo. Assim, a altura máxima atingida é dada por H = 25,98 tM - 4,9 tM2 = 34,44 metros.
Vemos assim que os movimentos em que foi decomposto o movimento do objeto podem ser tratados de forma independente, mantendo entre si, apenas, a relação temporal.
No Laboratório Virtual pode-se simular esse movimento de duas maneiras: lançando um corpo de qualquer massa com a velocidade especificada e acompanhando as componentes da velocidade e a posição, ou resolvendo dois problemas de movimentos de dois corpos, um uniforme e outro uniformemente acelerado, transferindo dados de um para outro.
Foi dito "um corpo de qualquer massa". De fato, o alcance e a altura atingida somente dependem da velocidade inicial imprimida ao corpo, desde que a resistência do ar não seja levada em conta, mas essa só depende da forma do corpo.
Foi o que Galileo mostrou deixando cair dois objetos de massa diferente do topo da torre de Pisa. Ambos chegaram juntos ao solo. Naquele tempo se pensava o contrário e, até hoje, infelizmente, essa idéia permanece no meio das pessoas.
Um bom experimento é repetir a experiência de Galileo, sem e com resistência do ar, no Laboratório Virtual.
Outro experimento interessante é introduzir a resistência do ar no problema e ver como a altura máxima e o alcance diminuem.
