A RELAÇÃO ENTRE O MOVIMENTO CIRCULAR E O MOVIMENTO RETILÍNEO

Já analisamos o problema de um ponto se movendo sobre uma trajetória circular e descrevendo, assim, um movimento circular.

É o caso de uma pessoa sentada em uma cadeira de uma roda gigante, do movimento da extremidade dos ponteiros de um relógio, de uma pedra amarrada à ponta de um barbante quando feita girar. Novamente, ilustramos as quantidades relevantes de um movimento circular na Figura 3.5.

Neste parágrafo, é nossa intenção mostrar que, operacionalmente, um movimento circular é idêntico a um movimento retilíneo, exceto pelo conceito de aceleração normal.

O ponto P descreve a circunferência de raio R e, no instante t, o arco s descrito a partir de uma origem marcada sobre o eixo Ox mede o espaço percorrido e, nesse instante a velocidade é v, um vetor tangente à trajetória cujo módulo é a velocidade escalar, o espaço percorrido sobre a trajetória na unidade de tempo.

No instante genérico t a aceleração é composta de uma aceleração tangencial, cujo módulo é a aceleração escalar, a variação de velocidade escalar na unidade de tempo, e de uma aceleração normal (centrípeta), dirigida para o centro da trajetória, devida à variação da direção da velocidade do móvel. No instante inicial t0 essas quantidades são s (0), v(0), at e an (0).

Consideramos, apenas, o caso em que a aceleração escalar é constante (inclusive nula). A aceleração normal depende da velocidade e, em geral, será variável.

MOVIMENTO CIRCULAR DE UM PONTO

As relações entre distância percorrida sobre a circunferência, velocidade escalar, aceleração escalar e tempo são idênticas às relações para o movimento retilíneo uniforme ou acelerado, isto é,

v = v(0) + at t

s = s(0) + v(0) t + at t2/2

e nestas a aceleração escalar pode ser nula, resultando um movimento circular uniforme.

A aceleração normal é dada pela relação

an = v2 / R

onde R é o raio da trajetória.

No movimento circular, no lugar de distância sobre a trajetória, podemos usar o ângulo central q subtendido entre o eixo Ox (por hipótese a origem dos ângulos e arcos) e o raio que une o centro da circunferência ao ponto móvel.

Se for utilizado esse ângulo, a sua variação na unidade de tempo é a velocidade angular (w = Dq/Dt), e a aceleração escalar é substituída pela aceleração angular, que é a variação da velocidade angular na unidade de tempo (a = Dw/Dt). Lembramos que o período do movimento é dado por T = 2p /w.

A FREQÜÊNCIA do movimento é o número de voltas completas (ciclos) que o móvel efetua em um segundo. Como leva T segundos para dar uma volta, a freqüência é f = 1/T cps (ciclos por segundo) ou s-1 ou Hertz (Hz). A freqüência de 1 Hz corresponde a um ciclo por segundo, de 1kHz a 1000 ciclos por segundo, de 1MHz a um milhão de ciclos por segundo e assim por diante.

As relações destas quantidades angulares com as escalares são obtidas simplesmente levando em conta que o arco descrito é igual ao ângulo varrido vezes o raio da trajetória. Temos pois:

s = Rq

v = Rw

at = Ra

an = w2 R

As relações entre ângulo descrito, velocidade angular e aceleração angular também decorrem das relações entre arco, velocidade escalar e aceleração escalar, dividindo essas pelo raio da trajetória, isto é,

w = w(0) + a t

q = q (0) + w(0) t + a t2/2

Como único exemplo considere-se um movimento circular uniformemente variado, onde a aceleração angular é de 2 rd/s2, a velocidade angular inicial é de 0,5 rd/s e, no instante inicial o móvel se encontra a uma distância angular de 60o da origem (eixo Ox).

O raio da trajetória é de 2m. Após decorridos 2 minutos, deseja-se saber a posição do móvel sobre a circunferência e sua velocidade angular e escalar, além de sua aceleração normal. Após 2 minutos (120 segundos) temos as relações

w = w(0) + a t = 0,5 + 2 x 120 = 240,5 rd/s

q = q (0) + w(0) t + a t2/2 = p / 3 + 0,5 x 120 + 2 x (120)2 /2 =

= 1,047 + 60 + 14.400 = 14.461,047 rd

O espaço (arco) percorrido é

s = R q = 2 x 14.461,047 = 28.922,094 m.

A velocidade escalar se obtém multiplicando a velocidade angular pelo raio da trajetória, isto é,

v = Rw = 2 x 240,5 = 481 m/s

A aceleração normal se obtém quadrando a velocidade angular e multiplicando pelo raio. Isto é,

an = w2 R = (240,5)2 x 2 = 115.680,5 m/s2

Este problema, e qualquer problema de movimento circular pode ser resolvido pelo Laboratório Virtual, apenas transformando-o em um movimento retilíneo e voltando, depois, para as quantidades angulares pedidas. No exemplo anterior teríamos

s(0) = R q (0) = 2 x 1,047 = 2,094 m

v(0) = R w(0) = 2 x 0,5 = 1 m/s

at = a = R a = 2 x 2 = 4 m/s2

Desta forma, após 120 segundos, o Laboratório Virtual fornece os seguintes valores

s = s(0) + v(0) t + a t2/2 = 2,094 + 1 x 120 + 4 x (120)2/2 =

= 28.922,094 m

v = v(0) + a t = 1 + 4 x 120 = 481 m/s

an = v2/R = (481)2 / 2 = 115.680,5 m/s2

Com estes resultados, calculam-se facilmente as quantidades angulares correspondentes

q = s/R = 28.922,094 / 2 = 14.462,047 rd

w = v/R = 481 / 2 = 240,5 rd/s

A prática corrente de se apresentar o movimento circular de forma independente do movimento retilíneo leva o aluno a pensar que espaço percorrido, velocidade e aceleração escalar são quantidades que dependem da trajetória, o que é um erro grave de conceito. O Laboratório Virtual permite que se recuperem esses conceitos básicos.

É claro que todo movimento circular também pode ser realizado no Laboratório Virtual, operando como antes sugerido: basta conectar um corpo a um cabo fixo na outra extremidade e acionar o móvel, sem esquecer de desativar a gravidade.

EXEMPLO - Desenvolva a equação de Torricelli para um movimento circular uniformemente acelerado e mostre que ela toma a forma
w2 - w02 = 2a (q - q0)

onde os símbolos tem o significado já descrito.

Que outras fórmulas do movimento retilíneo você sabe adaptar ao movimento circular? Tente resolver problemas de movimento circular adaptando-os ao movimento retilíneo e vice-versa.