MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES

A projeção sobre um diâmetro de um móvel que descreve um movimento circular uniforme é um movimento harmônico simples. Tomamos como referência a Figura 3.5 que representa um movimento circular uniforme, desde que a aceleração tangencial (escalar) seja nula.
 
O eixo horizontal Ox contém o diâmetro onde a projeção do móvel efetua um movimento por definição harmônico simples. Se o raio da circunferência for A, a abscissa dessa projeção é dada por

x = A cos q = A cos [q (0) + w(0) t] = A cos [q (0) + w t]

pois w é constante e, portanto, sempre igual ao valor inicial w(0).

A projeção da velocidade fornece a velocidade do movimento harmônico simples e é dada por

v(x) = - v sen q = - A w sen [q (0) + w t]

pois a velocidade v do movimento circular é o produto do raio A pela velocidade angular.

A projeção da aceleração normal fornece a aceleração do movimento harmônico simples e é dada por

a(x) = - A w2 cos [q (0) + w t] = - w2 x

Temos aqui um resultado importante

"A aceleração de um móvel em movimento oscilatório de freqüência angular w é, a cada instante, igual a menos o quadrado dessa freqüência pelo deslocamento do móvel".

Em geral, pois, se um corpo se move de forma que sua aceleração for proporcional ao deslocamento multiplicado por um fator negativo, o movimento é oscilatório periódico e a freqüência angular w é a raiz quadrada do valor absoluto desse fator.

EXEMPLO - Em um movimento sobre uma reta a aceleração a(x) do móvel é dada, a cada instante, pela relação a(x) = -25 x. Qual a freqüência angular, a freqüência e o período do movimento?

Pelo que foi visto, a freqüência angular é a raiz quadrada do módulo do coeficiente de x (esse tem que ser negativo), ou seja, w = 25½ = 5 rd/s, o período é T = 2p /w = 6,28/5 = 1,256 segundos. A freqüência é f = 1/T = 1 / 1,256 = 0,796 s-1 (ou cps ou Hertz, este se abreviando Hz).

No Laboratório Virtual você pode realizar um movimento harmônico simples utilizando uma mola de rigidez k (N/m) presa em uma extremidade e apoiada sobre um plano horizontal.

Na outra extremidade prende-se um bloco de massa M que escorrega sem atrito sobre o plano. Deslocando o bloco e esticando a mola, o movimento desse é harmônico.

A freqüência angular nesse caso é igual à raiz quadrada da relação k/M. Se você não conhecer a rigidez e conseguir medir o período (faça um gráfico da posição do bloco em função do tempo), dá para se calcular a rigidez k. Po exemplo, se a massa for de 2 kg e o período (repete a posição do corpo e sua velocidade) resultar ser igual a 5 segundos, então w = 2p /T = 6,28/5 = 1,256 rd/s.

O quadrado desta é w2 = 1,5775 = k/M. Logo a rigidez da mola é k = 1,5775 x M = 1,5775 x 2 = 3,155 N/m. Outros valores podem ser experimentados.