PARORDENADO :conjunto ordenado de dois elementos, representado pelosímbolo (x;y) onde x e y são números reais, denominadosrespectivamente de abscissa e ordenada.

Ex: Par ordenado (6; -3) : abscissa = 6 e ordenada = -3.>

Propriedade: doispares ordenados são iguais , quando são respectivamente iguaisas abscissas e as ordenadas. Em termos simbólicos:

(x;y) = (w;z) Û x = w e y = z

Ex: (2x - 4; y) = (- x; 7) >Û 2x - 4 = - x e y = 7 <\ x = 4/3 e y =7. >

PLANO CARTESIANO: também conhecido como sistema de coordenadasretangulares ; Trata-se de um conceito introduzido no séculoXVII pelo matemático e filósofo francês René Descartes, pararepresentar graficamente o par ordenado (xo;yo).Consiste basicamente de dois eixos orientados que se interceptamsegundo um angulo reto, num ponto denominado origem. O eixohorizontal é denominado eixo das abscissas e o eixo vertical édenominado eixo das ordenadas. Denominamos o ponto O de origem doplano cartesiano, sendo nulas a sua abscissa e a sua ordenada, ouseja, O(0;0).

>Observe que o plano cartesianopode ser subdividido em quatro regiões , que são denominadas Quadrantes.Temos então o seguinte quadro resumo:

QUADRANTE

ABSCISSA

ORDENADA

1 quadrante

+

+

2 quadrante

-

+

3 quadrante

-

-

4 quadrante

+

-

Obs:

1) a equação do eixo Ox é y = 0 e do eixo Oy é x = 0.

2) o gráfico de y = x é uma reta denominada bissetriz doprimeiro quadrante.

3) o gráfico de y = -x é uma reta denominada bissetriz dosegundo quadrante.

MÓDULO DE UM NÚMEROREAL : Entende-se por módulo ou valorabsoluto do número real a e

escreve-se ½ a½ , o seguinte:

½ a½ = a se a 0

½ a½ = -a se a < 0

Por esta definição, o módulo deum número positivo ou nulo (não negativo) é o próprio númeroe o módulo de um número negativo é o simétrico desse número.

Exs: ½ 7½ = 7 ; ½ -5½ = 5 ; ½ 0½ = 0 ; ½ 7 - 10½ = ½ -3½ = 3

São válidas as seguintespropriedades relativas às igualdades e desigualdades modulares:

P1) ½ w½ = 0 Û w = 0

P2) ½ w½ = b , onde b > 0 Û w =b ou w = - b

P3) ½ w½ b , onde b> 0 Û w b ouw £ - b

P4) ½ w½£ b , onde b> 0 Û -b £ w £ b

PRODUTO CARTESIANO: Dados dois conjuntos A e B , definimos o produto cartesiano deA por B , que indicamos pelo símbolo AxB , ao conjunto de todosos pares ordenados (x;y)

onde xÎ A e y Î B.Em termos simbólicos, podemos escrever:

AxB = { (x;y); x Î A e y Î B}

Ex: {0;2;3} x {5; 7} = { (0;5) , (0; 7) , (2;5) , (2;7) , (3;5},(3;7) }

Obs: Sendo A e B conjuntosquaisquer, temos:

a) o produto cartesiano de um conjunto A por ele mesmo, ou sejaAxA é representado por A2 .

Assim , podemos escrever: A x A = A2 .

b) A x B B x A (o produto cartesiano é umaoperação não comutativa)

c) A x f = f

d) n(A x B) = n(A) . n(B) , onde n(A) e n(B) representam osnúmeros de elementos de A e de B, respectivamente.

RELAÇÃO BINÁRIA

Dados dois conjuntos A e B ,chama-se relação de A em B , a qualquer subconjunto de AxB. Emtermos simbólicos, sendo  uma relação de A em B , podemosescrever:

 = { (x;y) ΠAxB ; x  y }

Ex: Â = { (0;3) , (2;5) , (3;0) } é uma relação de A ={ 0;2;3;4} em B = {3;5;0}.

NOTAS:

1) ÂÌ AxB

2) o conjunto A é o conjunto de partida e B o conjunto dechegada ou contradomínio.

3) se (x;y) Π, então dizemos que y é imagem de x ,pela relação  .

4) a expressão x y eqüivale a dizer que (x;y) Π.

5) dada uma relação  = { (x;y) Î AxB ; x  y }, o conjunto dos valores de x chama- se domínio da relação e oconjunto dos valores de y chama-se conjunto imagem da relação.

6 - o número de relações possíveis de A em B é dado por 2n(A).n(B).

7 - Dada uma relação  = { (x,y) Î AxB ; x  y }, define-se a relação inversa  -1como sendo:

 -1 = { (y,x) ΠBxA ; y  x }.

Ex: F = { (0,2) , (3.5) , (4,8) , ( 5,5) }

F-1 = { (2,0) , (5,3) , (8,4) , (5,5) }.

Agora, tente resolver asquestões a seguir.

1 - Sendo A = {x Î N; 1< x < 4} e B = {x Î Z; 5 < x <10}, o conjunto imagem da relação

S = {(x,y) Î AXB; x + y = 9} é:

a) {4,5,6}

*b) {6,7}

c) {5,6,7}

d) {7}

e) {1}

2 - Sendo n(A) = 2 e n(B) = 3,então o número de elementos de p(A) X p(B) é:

a)4

b)8

c)16

*d)32

e)64

3 - UFBA - Sejam: A = { 1 , 5 } ;B = { -1 , 0 , 1 }; R = {(x , y) Î AxB } e

F = conjunto dos pontos do plano, simétricos aos pontos de R emrelação à primeira bissetriz. Dos conjuntos e relaçõesdados, pode-se afirmar:

I) A imagem da relação inversa de R é o conjunto A.

II) O domínio de F é o conjunto B.

III) R tem 5 elementos.

IV) Em F há pontos pertencentes ao eixo Ox.

V) Existe um único ponto de R que pertence à primeirabissetriz.

São verdadeiras:

a) todas

b) nenhuma

c) III e IV

*d) I, II e V

e)somente I

4 - UEFS - Sendo A = { 1, 3 } e B= [-2 , 2], o gráfico cartesiano de AxB é representado por:

a) 4 pontos

b) 4 retas

c)um retângulo

d)retas paralelas a Ox

*e) dois segmentos de reta

5 - Sabendo-se que n(AxB) = 48 ,n(BxC) = 72 , n(p(A)) = 256, podemos afirmar que n(AxC) é:

a)64

b)72

*c)96

d)128

e)192

6 - UFCE - Dado um conjunto C ,denotemos por n(p(C)) o número de elementos do conjunto daspartes de C. Sejam A e B dois conjuntos não vazios, tais quen(p(AxB)) = 128 e n(B) > n(A). Calcule n(p(B)) / n(p(A)).

Resp: 64