Definição de Funções

Dados dois conjuntos A e B não vazios , chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada por f : A ® B ; y = f(x) , a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A , um único elemento de B .

Portanto , para que uma relação de A em B seja uma função , exige-se que a cada x Î A esteja associado um único y Î B , podendo entretanto existir y Î B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente a A .

Obs : na notação y = f(x) , entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja: y está associado a x através da função f.

Ex : f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto , 11 é imagem de 2 pela função f ; f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5 pela função f , etc.

Para definir uma função , necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio ) e de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio .

Quando D(f) Ì R e CD(f) Ì R , sendo R o conjunto dos números reais , dizemos que a função f é uma Função real de variável real . Na prática , costumamos considerar uma função real de variável real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define , sendo o conjunto dos valores possíveis para x , chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y , chamado de conjunto imagem da função . Assim , por exemplo , para a função definida por y = 1/x , temos que o seu domínio é D(f) = R* , ou seja o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero) , e o seu conjunto imagem é também R* , já que se y = 1/x , então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero .

Dada uma função f : A ® B definida por y = f(x) , podemos representar os pares ordenados (x , y) Î f onde x Î A e y Î B ,num sistema de coordenadas cartesianas . O gráfico obtido será o gráfico da função f .

Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f , podemos dizer que:

1 ) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá o domínio da função .

2 ) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá o conjunto imagem da função .

3 ) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função , intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto .

2 –Tipos de Funções

2.1 - Função sobrejetora : é aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio .

2.2 - Função injetora : uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio , possuem imagens distintas , isto é :

x1 x2 f(x1) f(x2) .

2.3 - Função bijetora : uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo tempo , injetora e sobrejetora .

3 – Relações entre o número de elementos do domínio e do contradomínio

Seja f uma função de A em B ; Sendo n(A) o número de elementos do conjunto A e n(B) o número de elementos do conjunto B , podemos concluir que :

a) Função injetora : n(A) £ n(B) .

b) Função sobrejetora : n(A) n(B) .

c) Função bijetora : n(A) = n(B) .

4 – Paridade da Funções

4.1 - Função par : a função y = f(x) é par quando " x Î D(f) , f(- x ) = f(x) . Portanto , numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma consequencia desse fato é que os 2 gráficos cartesiano das funções pares, são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou eixo das

ordenadas.

4.2 - Função ímpar : a função y = f(x) é ímpar , quando " x Î D(f) , f( - x ) = - f (x) . Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas. Uma consequencia desse fato é que os gráficos cartesianos das funções ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.

Nota : se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, dizemos que ela não possui paridade.

5 – Função Inversa

Dada uma função f : A ® B , se f é bijetora , então define-se a função inversa f -1 como sendo a função de B em A , tal que f -1 (y) = x . É óbvio então que :

a) para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y .

b) o domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f .

c) o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f .

d) os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja , à bissetriz do primeiro quadrante .

e) f (f -1(x) ) = f -1 (f(x)) = x

6 – Função Composta

Chama-se função composta ( ou função de função ) à função obtida substituindo-se a variável independente x , por uma função .

Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .

Obs : atente para o fato de que fog gof ( a operação " composição de funções " não é comutativa

, isto é , o resultado depende da ordem de colocação das funções ) .

7 – Tipos particulares de funções

7.1 - FUNÇÃO CONSTANTE

Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k , onde k não depende de x .

Exemplos:

a) f(x) = 5

b) f(x) = -3

Obs : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x .

7.2 - FUNÇÃO DO 1 GRAU

Uma função é dita do 1 grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a 0 .

Exemplos : f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).

Propriedades da função do 1 grau :

1) o gráfico de uma função do 1 grau é sempre uma reta .

2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita linear e se b 0 f é dita afim .

3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 .

4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear .

5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta .

6) se a > 0 , então f é crescente .

7) se a < 0 , então f é decrescente .

8) quando a função é linear ( f(x) = ax ) , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. 7.3 - FUNÇÃO DO 2 GRAU

Uma função é dita do 2 grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a 0 .

Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ; y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )

Gráfico da função do 2 grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical .

Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c :

1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo .

2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo

3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde xv = - b/2a e yv = - D /4a onde

D = b2 - 4ac .

4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x’ e x’’ , que são as raízes da

equação ax2 + bx + c = 0 .

5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .

6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.

7) ymax = - D /4a ( a < 0 )

8 ) ymin = - D /4a ( a > 0 )

9) Im(f) = { y Î R ; y - D /4a } ( a > 0 )

10) Im(f) = { y Î R ; y £ - D /4a} ( a < 0)

11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir :

y = a(x - x1).(x - x2)

Faça Exercícios de Funções

Exercício de funções - Resolvido

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