Exercícios Resolvidos:

1 - Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9 , desenvolvido segundo as potências decrescentes de x.

Solução:

Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)n , onde a = 2x , b = 1 e n = 9. Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então:

T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9-6 . (1)6 = 9! /[(9-6)! . 6!] . (2x)3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3 = 672x3. Portanto o sétimo termo procurado é 672x3.

2 - Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ?

Solução:

Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5 . Para isto, basta fazer 

p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes. 

Teremos:

T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4 . (3y)4 = 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)4 . (3y)4  

= 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x4.81y4

Fazendo as contas vem:

T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4y4 , que é o termo médio procurado.

3 - Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)3n , obtemos um polinômio de 16 termos . 

Qual o valor de n?

Solução:

Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do binômio é igual a 15. 

Logo, 3n = 15 de onde conclui-se que n = 5.

4 - Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de :

a) (2x - 3y)12 ? Resp: 1
b) (x - y)50 ?Resp: 0

Solução:

a) basta fazer x=1 e y=1. Logo, a soma S procurada será: S = (2.1 -3.1)12 = (-1)12 = 1

b) analogamente, fazendo x = 1 e y = 1, vem: S = (1 - 1)50 = 050 = 0.

5 - Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x )6 .

Solução:

Sabemos que o termo independente de x  é aquele que não depende de x, ou seja, aquele que não possui x.

Temos no problema dado: a = x , b = 1/x e n = 6. 

Pela fórmula do termo geral, podemos escrever:

Tp+1 = C6,p . x6-p . (1/x)p = C6,p . x6-p . x-p = C6,p . x6-2p

Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois x0 = 1. Logo, fazendo 6 - 2p = 0, obtemos p=3. Substituindo então p por 6, teremos o termo procurado. Temos então:

T3+1 = T4 = C6,3 . x0 = C6,3 = 6! /[(6-3)! . 3! ] = 6.5.4.3! / 3!.3.2.1 = 20.

Logo, o termo independente de x é o T4 (quarto termo) que é igual a 20.

Exercícios propostos

1) Qual é o termo em x5 no desenvolvimento de (x + 3)8 ?

2) Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x - 3y)7 .

3) Qual é o valor do produto dos coeficientes do 2o. e do penúltimo termo do desenvolvimento de (x - 1)80 ?

4) FGV-SP - Desenvolvendo-se a expressão [(x + 1/x) . (x - 1/x)]6 , obtém-se como termo independente de x o valor:

a) 10

b) -10

c) 20

d) -20

e) 36

5) UF. VIÇOSA - A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m é 625. O valor de m é:

a) 5

b) 6

c)10

d) 3

e) 4

6) MACK-SP - Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de (x2 + 1/(2x))n estão em progressão aritmética.O valor de n é:

a) 4

b) 6

c) 8

d) 10

e) 12

7) No desenvolvimento de (3x + 13)n há 13 termos. A soma dos coeficientes destes termos 

é igual a:

Resp: 248

8 - UFBA-92 - Sabendo-se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio (a + b)m é igual a 256, calcule (m/2)!

Resp: 24

9 - UFBA-88 - Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (x2 + 1/x)9.

Resp: O termo independente de x é o sétimo e é igual a 84.

10 - Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (3x - 1)10.

Resp: 1024

Respostas:

1) T4 = 1512.x5

2) – 128

3) 6400

4) D

5) E

6) 8

7) 248

8) 24

9) 84

10) 1024