Equações do 1º grau com uma variável

Equação  é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam números desconhecidos.

Exemplo:X + 3 = 12 – 4    

Forma geral:   ax = b, em que x representa a variável (incógnita) e a e b são números racionais,   com a 0. Dizemos que a e b são os coeficientes da equação.(ax = b, é a forma mais simples da equação do 1º grau)

Exemplos:

x - 4 = 2 + 7,  (variável x)  

          2m + 6 = 12 – 3 ,(variável m)    

        -2r + 3 = 31,   (variável r)  

        5t + 3 = 2t – 1 ,  (variável t)

          3(b – 2) = 3 + b,(variável b)    

4 + 7 = 11, (é uma igualdade, mas não possui uma variável, portanto não é uma equação do 1º grau) 

3x – 12 > 13, (possui uma variável, mas não é uma igualdade, portanto não é uma equação do 1º grau)

Obs:

Devemos observar duas partes em uma equação, o 1º membro à esquerda do sinal de igual e o 2º membro à direita do sinal de igual.

Veja: 

Conjunto Universo:Conjunto formado por todos os valores que a variável pode assumir. Representamos pela           letra    U.

Conjunto  Solução:Conjunto formado por valores do conjunto U que tornam a sentença verdadeira. Representamos pela letra  S.

          Exemplo:

        Dentre os elementos do conjunto  F = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, qual deles torna a sentença matemática  

        2x – 4 = 2,   verdadeira.

2(0) – 4 = 2 Errado

2(2) – 4 = 2 Errado

2(3) – 4 = 2 Verdadeiro

2(6) – 4 = 2 Errado

2(8) – 4 = 2 Errado

2(9) – 4 = 2 Errado                                

Devemos observar que o conjunto U = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, e conjunto S = {3}

Sistemas de Equações do 1º Grau

SISTEMA

COM DUAS EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS

Resolver um

sistema de duas equações do 1º grau com duas variáveis, x e y, por exemplo,

significa determinar o único par ordenado (x,y) que é a solução do sistema.

Podemos encontrar a solução de um sistema usando os métodos da adição,

substituição e comparação.

Exercícios

Resolvidos:

1) Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?

Solução:

n + n/2 = 150

2n/2 + n/2 = 300/2

2n + n = 300

3n = 300

n = 300/3

n = 100

Resposta:

Esse número é 100.

2)

A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 36. Qual é esse número?

Solução:

x - x/5 = 36

(5 x - x)/5 = 36

4x /5 = 36

4x = 36.5

4x = 180

x = 180/4

x = 45

Resposta:

Esse número é 45.

3)

O triplo de um número é igual a sua metade mais 20. Qual é esse número?

Solução:

3 m = m/2 + 20

6m/2 = (m+40)/2

6m = m + 40

6m - m =

5m = 40

m = 40/5

m = 8

Resposta:

Esse número é 8.

4)

O triplo de um número, mais 5, é igual a 254. Qual é esse número?

Solução:

3p + 5 = 254

3p = 254 - 5

3p = 249

p = 249/3

p = 83

Resposta:

Esse número é 83.

5)

O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 99. Qual é esse número

?

6)

Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades

será 72 anos?

7)

Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas.

Determine o número de bicicletas e de carros.

8)

A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a

75. Quantos objetos há na caixa?

9)

Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 90 empregados são

brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?

10)

Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos

4 brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a

quantidade de bolas brancas?

11)

Como devo distribuir R$ 438,00 entre três pessoas, de modo que as duas

primeiras recebam quantias iguais e a terceira receba o dobro do que receber as

duas primeiras?

12)

Ao triplo de um número foi adicionado 40. O resultado é igual ao quíntuplo do

número. Qual é esse número?

Gráfico

de uma equação de 1º grau com duas variáveis

Sabemos

que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções.

Cada

uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x,

y).

Dispondo

de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente

num plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das

solução dessa equação. Exemplo:

Construir um gráfico

da equação x

+ y  = 4.

Inicialmente,

escolhemos dois pares ordenados que solucionam  essa equação.

1º

par: A (4, 0)

2º

par: B (0, 4)

A

seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.

x

y

4

0

0

4

 

Finalmente,

unimos os pontos A e B, determinando a reta  r,

que contém todos os pontos soluções da equação.

A

reta  r

é chamada  reta suporte do gráfico da equação.

 

Sistemas

de Equações

Considere

o seguinte problema:

Pipoca,

em sua última partida, acertou x

arremessos de 2 pontos e y

arremessos de 3

pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3

pontos ele acertou?

Podemos

traduzir essa situação através de duas equações, a saber:

               

x + y

= 25         (total de arremessos

certo)

               

2x

+ 3y

= 55     (total de pontos obtidos)

Essas

equações contém um sistema de equações.

 

Costuma-se

indicar o sistema usando chave.

 

O

par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução

do sistema.

Um sistema de duas equações com duas variáveis

possui uma única solução.

 

Resolução de Sistemas

A

resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em

determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.

Estudaremos a seguir alguns métodos:

 

Método

de substituição

 

Solução

· determinamos o

valor de x na 1ª equação.

x

= 4 - y

· Substituímos

esse valor na 2ª equação.

2 . (4 - y)

-3y

= 3

· Resolvemos a

equação formada.

8

- 2y

- 3y

= 3

-2y

- 3y

= 3

-5y

= 5  (-1)

5y

= -5

y

= 5/3

y = 1

·  Substituímos o

valor encontrado de y,

em qualquer das equações, determinando x.

x  +

1 =  4

x =  4 - 1

x = 3

· A solução do

sistema é o par ordenado (3, 1).

  

                            

V = {(3, 1)}

 

Método da adição

Sendo

U = Q x Q, observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método

da adição.

Resolva

o sistema abaixo:

 

 

Solução

· Adicionamos membros a membros as equações:

 

2x

= 16

x

= 16/2

x

= 8

· Substituímos

o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y:

8 + y = 10

y = 10 - 8

y = 2

A solução do sistema é o par

ordenado (8, 2)

V

= {(8, 2)}