sUma expressão algébrica é usada para representar uma constate, uma variável ou uma

combinação de variáveis e constantes relacionadas por um número finito de operações

(adição, subtração, multiplicação, divisão, radiciação, potenciação). Exemplos

de expressões algébricas são

3x2y2            y      

Uma expressão algébrica envolvendo somente potências não-negativas de uma ou mais

variáveis e não contendo variáveis no denominador, é chamada polinômio.

Por

exemplo:

2x

        x23x+1         

são polinômios na

variável x.

Exemplos de

polinômios nas variáveis x e y são

2x3y2

      5x38y     

Um termo de um polinômio é uma constante, ou uma constante

multiplicada por potências não negativas das variáveis. Um polinômio pode ser

considerado como uma soma de um número finito de termos. Por exemplo, no polinômio identificamos três termos: 2x3 , e 5. Além disto, os números 2, e 5 são os coeficientes

do polinômio, x é a variável e seu grau é três.

Termos que

diferem apenas pelo valor de seus coeficientes constantes são chamados termos

semelhantes. Por exemplo, 5x2  e 2x2

são termos semelhantes.

Um polinômio

pode ser denominado de acordo com o seu número de termos, isto é, um polinômio de um

termo pode ser chamado monômio; de dois termos, binômio e de três termos,

trinômio.

Como as

variáveis usadas nos polinômios representam números reais, todas as operações entre

polinômios são fundamentadas pelas propriedades dos números reais.

Alguns

resultados da multiplicação de duas expressões algébricas são particularmente

importantes para a matemática.

Estes

resultados são chamados Produtos Notáveis. Destacamos:

    (a + b)2

    = a2 + 2ab + b2

    (a – b)2 = a2  – 2ab + b2

    (a + b)(a – b) = a2 – b2

    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

    (a - b)3 = a3- 3a2b + 3ab2 - b3

As identidades acima, por um lado, fornecem resultados imediatos para as multiplicações

indicadas e, por outro, podem ser consideradas maneiras abreviadas de representar alguns

polinômios.

Assim, por exemplo, o produto notável (x + 3)2 resulta em x2

+ 6x + 9. Equivalentemente, (x + 3)2 é uma forma abreviada

de representar o polinômio x2 + 6x + 9. Dizemos que (x

+ 3)2 é a forma fatorada do polinômio x2 +

6x + 9.

Assim, como

fatorar um número é escrevê-lo como produto de outros números, também, fatorar

uma expressão algébrica é escrevê-la como produto de outras expressões algébricas.

Nomeamos, a seguir, os casos

mais importantes de Fatoração, seguidos de exemplos ilustrativos.

Fator Comum

em Evidência

2xy – 6x = 2x(y

– 3)

2x = termo

colocado em evidência

(y - 3) = quociente de cada termo da expressão pelo fator comum.

Outro exemplo:

10a4b – 5a3b

+ 15a2b2 = 5a2b(2a2

– a + 3b)

Assim, 5a2b(2a2 – a + 3b)

é a forma fatorada de 10a4b – 5a3b

+ 15a2b2.

 

Agrupamento

ax + ay + bx

+ by = (ax + ay)(bx + by) - Agrupamos os

termos que têm fator comum

      

                     

= a(x + y) + b(x + y)   -

Colocamos em evidência os fatores comuns a e b

                             

= (x + y)(a + b) - Colocamos em evidência o fator

comum (x + y)

Outro exemplo:

x3

+ x2 + x + 1 = (x3 + x2)

+ (x + 1)

                    

= x2(x + 1) + (x + 1)

                    

= (x + 1)(x2 + 1)

 Assim, (x + 1)(x2 + 1) é uma forma fatorada de x3

+ x2 + x + 1.

 

Trinômio

Quadrado Perfeito

a2

+ 2ab + b2 = (a + b)2

Veja que o trinômio é quadrado perfeito pois um de seus termos (2ab) é o

dobro do produto das raízes quadradas dos outros dois. ( e ).

De forma análoga:

a2

- 2ab + b2 = (a - b)2

Outros exemplos:

A forma fatorada de x2 + 6x

+ 9 é (x + 3)2

A forma fatorada de é .

 

Diferença

de dois Quadrados

a2

b2 = (a + b)(ab)

Outros exemplos:

A forma fatorada de x2 – 9

é (x – 3)(x + 3).

é a forma fatorada de .

Observações:

  1. Certas expressões admitem a

    aplicação sucessiva de mais de uma caso de fatoração. Por exemplo: Ao fatorar a

    expressão 3a2- 3m2 podemos colocar em

    evidência o fator comum 3 obtendo, assim, 3(a2 – m2).

    Esta, por sua vez, apresenta o fator (a2 – m2)

    que é uma diferença entre dois quadrados. Portanto, a forma fatorada de 3a2

    - 3m2 é 3(a – m)(a + m).

    De forma semelhante, para fatorar as expressões seguintes, também são usados dois ou

    mais casos de fatoração:

x4

y4 = (x2 + y2)(x2

y2)

             =(x2

+ y2)(xy)(x + y)

x2

+2xy + y2 –1 = (x2 +2xy + y2)

- 1

        

                   

= (x + y)2 - 12

        

                   

= [(x + y) –1][(x + y) + 1]

         

                   

= (x + y –1)(x + y + 1)

  1. A fatoração é de fundamental

    importância para a simplificação de expressões, principalmente das funções

    algébricas. Simplificar uma fração algébrica significa encontrar a fração

    equivalente a ela, na forma mais simples. Esta redução é obtida pela fatoração do

    numerador e do denominador, cancelando-se os fatores comuns e impondo-se a condição de

    que os mesmos não sejam nulos. Enfatizamos que "cancelar" os fatores comuns do

    numerador e do denominador significa dividi-los por aquele fator. Por exemplo:

com x + y ¹ 0 e x - y ¹ 0

  1. Sejam a Î R

    e bÎ R*, é válido que :

  1. A fatoração é necessária também

    para a determinação de mínimo múltiplo comum de denominadores na adição e

    subtração de frações algébricas, bem como na simplificação dos resultados obtidos.

    Exemplos: Vamos efetuar as operações indicadas pelas expressões algébricas a seguir.