Período: 430 a.C. aproximadamente

Trigonometria: o início da trigonometria

As origens da trigonometria são incertas. É possível encontrar problemas que envolvem a co-tangente no Papiro Rhind e uma notável tábua de secantes na tábua cuneiforme babilônica Plimpton 332.

O desenvolvimento da trigonometria esta bastante ligado à astronomia.

Os astrônomos babilônicos dos séculos IV e V a.C. obtiveram várias

informações que foram transmitidas para os gregos, foi essa astronomia

primitiva que deu origem à trigonometria esférica.

Foram os gregos que pela primeira vez fizeram um estudo das relações

entre ângulos (ou arcos) num círculo e os comprimentos que subtendem.

Nas obras de Euclides já existiam teoremas equivalentes a leis ou

fórmulas trigonométricas.

Seno, Cosseno e Tangente

Em Os elementos

é possível encontrar as leis do cosseno para ângulos obtusos e agudos,

respectivamente, nas Proposições II.12 e II.13, porém enunciadas em

linguagem geométrica.

Hiparco de Nicéia

ganhou o direito de ser chamado "o pai da trigonometria" pois na

segunda metade do século II a.C., fez um tratado em doze livros que se

ocupa da construção do que deve ter sido a primeira tabela

trigonométrica, uma tábua de cordas, Ptolomeu também construiu uma

tabela de cordas que fornece o seno dos ângulos de 0o

a 90o

com incrementos de 15".

Evidentemente Hiparco fez estes cálculos para usá-los em sua astronomia.

Também parece ter sido Hiparco o primeiro a dividir o círculo em 360o

na sua tábua de cordas. Talvez ele tenha tomado a idéia de Hipsicles

que dividiu o dia em 360 partes (inspirado na astronomia babilônica).

Teon de Alexandria menciona um tratado de Cordas num círculo

em seis livros, escrito por Menelau de Alexandria, que assim como

vários outros de seus tratados se perdeu. Felizmente o seu tratado Sphaerica, em três livros, se preservou numa versão árabe.

No Livro I estabelece uma base teórica para estudo dos triângulos esféricos

assim como Euclides fez para os triângulos planos, como teoremas usuais de

congruência e teoremas sobre triângulos isósceles entre outros. Além disso,

contém um teorema que não possui um análogo euclidiano, dois triângulos

esféricos são congruentes quando os ângulos correspondentes são iguais

(ele não fazia distinção entre triângulos esféricos congruentes e simétricos).

Estabelece-se também o fato de que a soma dos ângulos de um triângulo esférico

é maior que 180o

. O Livro II contém teoremas de interesse da astronomia e no livro III

desenvolve-se a trigonometria esférica através da proposição conhecida

como teorema de Menelau: se uma transversal intercepta os lados BC, CA,

AB de um triângulo ABC nos pontos L, M, N, respectivamente, então:

Analogamente na trigonometria esférica ao invés de

uma transversal temos um círculo máximo transversal interceptando os

lados BC, CA, AB de um triângulo esférico ABC, respectivamente nos

pontos L, M, N e a conclusão correspondente é:

Porém a mais influente e significativa obra trigonométrica da antigüidade foi a Syntaxis matematica,

obra escrita por Ptolomeu que contém 13 livros. Este tratado é famoso

por sua compacidade e elegância, e para distinguí-lo de outros foi

associado a ele o superlativo magiste ou "o maior". Mais tarde na Arábia o chamaram Almagesto, por designação da lingua, e a partir de então a obra é conhecida por esse nome.