Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor negativo (Delta < 0).

Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R).

A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e

Argand os que realmente conseguiram expor uma interpretação geométrica

num outro conjunto de números, chamado de números complexos, que

representamos por C.

Números Complexos

Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:

z = (x,y)

onde x pertence a R e y pertence a R.

Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde i=(0,1), podemos escrever que:

z=(x,y)=x+yi

Exemplos:

(5,3)=5+3i

(2,1)=2+i

(-1,3)=-1+3i ...

Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde temos:

x=Re(z, parte real de z

y=Im(z), parte imaginária de z

Igualdade entre números complexos

Dois

números complexos são iguais se, e somente se, apresentam

simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:

z1=z2<==> a=c e b=d

Adição de números complexos

Para somarmos dois números complexos basta somarmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:

z1+z2=(a+c) + (b+d)

Subtração de números complexos

Para subtrairmos dois números complexos basta

subtrairmos, separadamente, as partes reais e imaginárias desses

números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, temos que:

z1-z2=(a-c) + (b-d)

Potências de i

Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então:

i0 = 1

i1 = i

i2 = -1

i3 = i2.i = -1.i = -i

i4 = i2.i2=-1.-1=1

i5 = i4. 1=1.i= i

i6 = i5. i =i.i=i2=-1

i7 = i6. i =(-1).i=-i ......

Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão de n por 4.

Exemplo:

i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i

Multiplicação de números complexos

Para multiplicarmos dois números complexos basta

efetuarmos a multiplicacão dois dois binômios, observando os valores

das potência de i. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, temos que:

z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2

z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bci

z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i

Observar que : i2= -1

Conjugado de um número complexo

Dado z=a+bi, define-se como conjugado de z (representa-se por z-) ==> z-= a-bi

Exemplo:

z=3 - 5i ==> z- = 3 + 5i

z = 7i ==> z- = - 7i

z = 3 ==> z- = 3

Divisão de números complexos

Para dividirmos dois números complexos basta

multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do

denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos que:

z1 / z2 = [z1.z2-] / [z2z2-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]

Módulo de um número complexo

Dado z = a+bi, chama-se módulo de z ==> | z | = (a2+b2)1/2, conhecido como ro

Interpretação geométrica

Como dissemos, no início, a interpretação

geométrica dos números complexos é que deu o impulso para o seu estudo.

Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte maneira

Forma polar dos números complexos

Da interpretação geométrica, temos que:

que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo.

Operações na forma polar

Sejam z1=ro1(cos t11)

e z2=ro1(cos t1+i sent1). Então, temos que:

a)Multiplicação

Divisão

Potenciação

Radiciação

para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1

Exercícios Resolvidos

1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i

Determine x e y de modo que z1 + z2 = 0

Temos que:

z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0

logo, é preciso que:

2x+1 - y =0 e y+2 = 0

Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2

2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário puro

Efetuando a multiplicação, temos que:

z = x + (x+2)i + 2i2

z= (x-2) + (x+2)i

Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2

3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?

Efetuando a divisão, temos que:

z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58

O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58

4 - Os módulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, qual o valor de x?

Então, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2

Em decorrência,

x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36

20 = -4x + 40

4x = 20, logo x=5

5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i

Efetuando-se a divisão, temos:

z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 - i

Para a forma trigonométrica, temos que:

r = (1 + 1)1/2 = 21/2

sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2

cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2

Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º

Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:

z = r(cos t + i sen t), temos que:

z = 21/2 ( cos 315º + i sen 315º )