Em resumo:

• Logaritmo é o expoente ao qual uma base precisa ser elevada para produzir determinado número.
• As propriedades de produto, quociente e potência ajudam a transformar expressões mais complexas em cálculos simples.
• Nas questões de vestibular, logaritmos aparecem tanto diretamente quanto em problemas de crescimento, decaimento, juros, som e escalas.

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Estudar logaritmos exige mais do que decorar fórmulas. Para resolver questões de vestibular, é importante compreender a relação entre logaritmo e potenciação, dominar suas propriedades e saber identificar quando uma situação-problema pode ser transformada em uma expressão logarítmica.

Por isso, selecionamos seis questões reais de provas recentes do Enem que envolvem logaritmos, funções logarítmicas ou situações que podem ser resolvidas com esse conteúdo.

Os exercícios abordam temas como:

• definição de logaritmo;
• propriedades dos logaritmos;
• equações exponenciais;
• função exponencial e função logarítmica;
• escala Richter;
• nível sonoro;
• juros compostos;
• meia-vida do carbono-14.

Os cadernos e gabaritos oficiais do Enem são disponibilizados pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep).

O que é logaritmo?

O logaritmo responde a uma pergunta simples:

A que expoente devemos elevar a base para obter determinado número?

Matematicamente:

logₐ b = x ⇔ aˣ = b

Nesse caso:

• a é a base;
• b é o logaritmando;
• x é o logaritmo.

Por exemplo:

log₂ 8 = 3

Isso acontece porque:

2³ = 8

A base precisa ser positiva e diferente de 1, enquanto o logaritmando deve ser positivo.

A relação entre logaritmo e potenciação é uma das ideias mais importantes para resolver exercícios. Se você consegue transformar uma expressão logarítmica em uma expressão exponencial, muitas questões ficam mais simples.

A prática é uma das principais formas de melhorar o desempenho na redação do Enem. Além de escrever diferentes textos, o estudante pode analisar os próprios erros e entender quais competências precisam de mais atenção.

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Quais são as principais propriedades dos logaritmos?

Antes de partir para os exercícios, vale revisar algumas propriedades.

Logaritmo do produto

logₐ(x · y) = logₐx + logₐy

Logaritmo do quociente

logₐ(x/y) = logₐx − logₐy

Logaritmo de uma potência

logₐ(xⁿ) = n · logₐx

Logaritmo da própria base

logₐa = 1

Isso ocorre porque:

a¹ = a

Logaritmo de 1

logₐ1 = 0

Isso acontece porque:

a⁰ = 1

Essas propriedades aparecem com frequência em questões de vestibular, principalmente quando o estudante precisa simplificar uma expressão ou encontrar uma variável.

Exercícios de logaritmos resolvidos

Agora, veja seis questões reais de provas do Enem e acompanhe a resolução.

1. Enem 2024: terremotos e escala Richter

Vestibular: Enem 2024
Caderno: Amarelo, 2º dia
Questão: 150
Conteúdo: logaritmo e escala Richter
Resposta correta: C

Na questão, o Enem apresenta uma relação entre a magnitude de dois terremotos e a energia liberada por eles:

M₂ − M₁ = 2/3 · log(E₂/E₁)

O primeiro terremoto possui magnitude 6,9, enquanto sua energia corresponde a um décimo da energia liberada pelo segundo terremoto.

A questão pede a magnitude aproximada do segundo terremoto.

O enunciado e as alternativas constam no caderno oficial do Inep.

Resolução

Sabemos que:

M₁ = 6,9

Como a energia do primeiro terremoto corresponde a um décimo da energia do segundo:

E₁/E₂ = 1/10

Logo:

E₂/E₁ = 10

Substituindo na fórmula:

M₂ − 6,9 = 2/3 · log 10

Como:

log 10 = 1

temos:

M₂ − 6,9 = 2/3

Portanto:

M₂ = 6,9 + 0,666…

M₂ ≈ 7,6

Resposta

Alternativa C: 7,6.

A questão trabalha principalmente a definição de logaritmo decimal e a interpretação de uma expressão matemática aplicada a uma situação real.

Fonte oficial: Inep: Provas e Gabaritos do Enem

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2. Enem 2024 PPL: pressão sonora

Vestibular: Enem 2024 PPL
Caderno: Azul, 2º dia
Questão: 152
Conteúdo: equação logarítmica
Resposta correta: C

A questão apresenta uma fórmula que relaciona o nível de pressão sonora, em decibéis, à pressão sonora:

n = 20 log(P/P₀)

O problema informa que o nível sonoro medido foi de 80 dB e que:

P₀ = 2 × 10⁻⁵ N/m²

O objetivo é descobrir a pressão sonora P. A questão e o gabarito fazem parte do conjunto oficial de provas e gabaritos do Inep.

Resolução

Substituímos os valores:

80 = 20 log(P/(2 × 10⁻⁵))

Dividindo os dois lados por 20:

4 = log(P/(2 × 10⁻⁵))

Pela definição de logaritmo:

P/(2 × 10⁻⁵) = 10⁴

Então:

P = 2 × 10⁻⁵ × 10⁴

Multiplicando as potências de 10:

P = 2 × 10⁻¹

Portanto:

P = 0,2 N/m²

Resposta

Alternativa C: 2 × 10⁻¹ N/m².

O que estudar com essa questão?

O ponto principal é reconhecer que:

log₁₀x = 4

significa:

x = 10⁴

Essa conversão entre a forma logarítmica e a forma exponencial é fundamental.

Fonte oficial: Inep: Provas e Gabaritos do Enem

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3. Enem 2023: logaritmo e nível de ruído

Vestibular: Enem 2023
Caderno: Azul, 2º dia
Questão: 152
Conteúdo: propriedades dos logaritmos
Resposta correta: B

A questão apresenta uma fórmula para calcular o nível de intensidade sonora:

N = 10 log(I/I₀)

O valor de referência é:

I₀ = 10⁻¹² W/m²

Uma máquina apresenta intensidade:

I = 8 × 10⁻⁸ W/m²

O exercício informa ainda que log 2 ≈ 0,3. A questão pede a medida preventiva correspondente ao nível sonoro calculado.

Resolução

Primeiro, calculamos a razão:

I/I₀ = (8 × 10⁻⁸)/(10⁻¹²)

Subtraindo os expoentes:

I/I₀ = 8 × 10⁴

Assim:

N = 10 log(8 × 10⁴)

Podemos escrever:

8 = 2³

Logo:

N = 10 log(2³ × 10⁴)

Pela propriedade do produto:

N = 10 [log(2³) + log(10⁴)]

Aplicando a propriedade da potência:

N = 10 [3 log 2 + 4 log 10]

Como:

log 2 ≈ 0,3

e

log 10 = 1

temos:

N = 10 [3 × 0,3 + 4]

N = 10 [0,9 + 4]

N = 49 dB

O enunciado classifica níveis entre 48 dB e 55 dB como som moderado, associado à medida preventiva II.

Resposta

Alternativa B: medida preventiva II.

O que estudar com essa questão?

Aqui aparecem duas propriedades importantes:

log(x · y) = log x + log y

e

log(xⁿ) = n · log x

Memorizar essas duas propriedades ajuda bastante em questões nas quais o número dentro do logaritmo pode ser decomposto em fatores conhecidos.

Fonte oficial: Inep: Provas e Gabaritos do Enem

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4. Enem 2021 PPL: juros compostos e logaritmo

Vestibular: Enem 2021 PPL
Caderno: Azul, 2º dia
Questão: 145
Conteúdo: equação exponencial e logaritmo
Resposta correta: C

A questão apresenta um investimento de R$ 100 mil, com rendimento de 0,8% ao mês, em regime de capitalização composta.

O objetivo é descobrir quantos meses são necessários para que o valor aplicado dobre. O problema fornece uma tabela com valores aproximados de logaritmos.

Resolução

A fórmula dos juros compostos é:

F = C(1 + x)ⁿ

Como o objetivo é dobrar o capital:

F = 2C

A taxa de 0,8% corresponde a:

x = 0,008

Então:

2C = C(1,008)ⁿ

Cancelando C:

2 = (1,008)ⁿ

Como não é simples escrever os dois lados com a mesma base, aplicamos logaritmo:

log 2 = log[(1,008)ⁿ]

Pela propriedade da potência:

log 2 = n · log(1,008)

De acordo com os valores fornecidos na questão:

log 2 = 0,30

e

log(1,008) = 0,003

Então:

0,30 = n · 0,003

Logo:

n = 0,30/0,003

n = 100

Resposta

Alternativa C: 100 meses.

O que estudar com essa questão?

Esse é um exemplo clássico de equação exponencial resolvida com logaritmos.

Quando a variável aparece no expoente, aplicar logaritmo aos dois lados pode permitir que o expoente seja trazido para frente:

log(aⁿ) = n · log a

Essa propriedade é muito utilizada em problemas de crescimento e decaimento.

Fonte oficial: Inep: Provas e Gabaritos do Enem

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5. Enem 2020: Lei de Zipf e função logarítmica

Vestibular: Enem 2020
Caderno: Amarelo, 2º dia
Questão: 156
Conteúdo: propriedades dos logaritmos e função logarítmica
Resposta correta: A

A questão apresenta a Lei de Zipf, uma relação matemática entre a frequência de uma palavra e sua posição em um ranking.

A relação é representada por:

f = A/rᴮ

O problema define:

X = log(r)

e

Y = log(f)

e pergunta qual expressão relaciona Y e X.

Resolução

Partimos de:

f = A/rᴮ

Aplicamos logaritmo nos dois lados:

log f = log(A/rᴮ)

Pela propriedade do quociente:

log f = log A − log(rᴮ)

Agora utilizamos a propriedade da potência:

log f = log A − B log r

A questão define:

Y = log f

e

X = log r

Substituindo:

Y = log A − B X

Resposta

Alternativa A: Y = log(A) − B · X.

O que estudar com essa questão?

Essa questão é especialmente interessante para quem está estudando função logarítmica, porque mostra como propriedades de logaritmos podem transformar uma relação não linear em uma relação linear.

O caminho utilizado foi:

quociente → diferença

potência → multiplicação

Depois, bastou substituir as variáveis definidas pelo enunciado.

Fonte oficial: Inep: Provas e Gabaritos do Enem

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6. Enem 2020: carbono-14 e função exponencial

Vestibular: Enem 2020
Caderno: Amarelo, 2º dia
Questão: 157
Conteúdo: função exponencial e logaritmos
Resposta correta: B

A questão aborda a meia-vida do carbono-14 e apresenta uma função que relaciona a quantidade de carbono existente em um fóssil ao tempo transcorrido desde a morte do organismo.

A fórmula utilizada é:

Q(t) = Q₀ · 2⁻ᵗ/⁵⁷³⁰

O exercício apresenta cinco fósseis e seus valores iniciais e atuais de carbono-14. O objetivo é identificar qual deles é o mais antigo.

Resolução

Quanto maior for o tempo decorrido, menor será a quantidade de carbono-14 restante.

Podemos analisar a razão:

Q(t)/Q₀

Para os fósseis apresentados:

• Fóssil 1: 32/128 = 1/4
• Fóssil 2: 8/256 = 1/32
• Fóssil 3: 64/512 = 1/8
• Fóssil 4: 512/1024 = 1/2
• Fóssil 5: 128/2048 = 1/16

A menor razão indica a maior perda proporcional de carbono-14.

O menor valor é:

1/32

Portanto, o fóssil 2 é o mais antigo.

Também é possível resolver usando logaritmos. Para o fóssil 2:

1/32 = 2⁻⁵

Comparando com:

2⁻ᵗ/⁵⁷³⁰

temos:

−t/5730 = −5

Logo:

t = 5 × 5730

t = 28.650 anos

Resposta

Alternativa B: fóssil 2.

O que estudar com essa questão?

Embora a questão seja principalmente sobre função exponencial, ela também pode ser relacionada aos logaritmos.

A ideia central é que o logaritmo funciona como operação inversa da exponenciação. Por isso, ele pode ser usado para descobrir um expoente desconhecido em expressões desse tipo.

Fonte oficial: Inep: Provas e Gabaritos do Enem

Como resolver exercícios de logaritmo?

Depois de analisar as questões, é possível estabelecer um roteiro para resolver exercícios de função logarítmica e logaritmos.

1. Identifique a base

Observe qual é a base do logaritmo.

Por exemplo:

log₂ 8

tem base 2.

No logaritmo decimal, a base 10 muitas vezes é omitida:

log 100 = log₁₀ 100

2. Transforme logaritmo em potência quando necessário

Se:

logₐ b = x

então:

aˣ = b

Essa transformação costuma ser o caminho mais rápido em questões diretas.

3. Procure potências conhecidas

Se aparecer:

log 1000

pense:

10³ = 1000

Portanto:

log 1000 = 3

O mesmo vale para outras bases.

4. Use as propriedades

Quando o logaritmando for uma multiplicação, divisão ou potência, procure aplicar as propriedades:

Produto:

log(xy) = log x + log y

Quociente:

log(x/y) = log x − log y

Potência:

log(xⁿ) = n log x

5. Confira o domínio

Para um logaritmo real:

logₐ f(x)

é necessário que:

f(x) > 0

Além disso:

a > 0

e

a ≠ 1

Essa verificação é especialmente importante em exercícios de função logarítmica e equação logarítmica.

Função logarítmica x função exponencial

As funções logarítmica e exponencial estão diretamente relacionadas.

Uma função exponencial pode ser escrita como:

f(x) = aˣ

Já uma função logarítmica pode ser escrita como:

g(x) = logₐx

Elas são funções inversas quando respeitadas as condições adequadas para a base.

Essa relação ajuda a entender por que problemas de crescimento, juros compostos, meia-vida e escalas podem utilizar tanto exponenciais quanto logaritmos.

Dicas para estudar logaritmos para o vestibular

Para consolidar o conteúdo, vale organizar os estudos em etapas.

• Comece pela definição: entenda o significado de logₐb = x.
• Depois, revise as propriedades: produto, quociente e potência são especialmente importantes.
• Em seguida, pratique conversões: transforme expressões logarítmicas em exponenciais e vice-versa.
• Resolva questões contextualizadas: problemas de juros, escalas, som e crescimento ajudam a identificar como o conteúdo aparece nas provas.
• Por fim, revise funções: estude domínio, imagem, comportamento crescente ou decrescente e relação com a função exponencial.

Checklist para revisar antes da prova

Antes de considerar o conteúdo dominado, confira se você consegue:

• explicar o que significa um logaritmo;
• identificar base e logaritmando;
• calcular logaritmos simples;
• aplicar as propriedades dos logaritmos;
• resolver equações exponenciais usando logaritmos;
• identificar o domínio de uma função logarítmica;
• interpretar o gráfico de uma função logarítmica;
• relacionar funções logarítmicas e exponenciais;
• resolver problemas contextualizados com logaritmos.

Fontes oficiais das questões

As questões utilizadas nesta matéria pertencem a diferentes aplicações do Enem, cujos cadernos e gabaritos são disponibilizados oficialmente pelo Inep. A página institucional reúne as edições do exame e seus respectivos materiais.

• Enem 2024: Provas e gabaritos oficiais de 2024
• Enem 2023: Provas e gabaritos oficiais de 2023
• Enem 2021: Provas e gabaritos oficiais de 2021
• Enem 2020: Provas e gabaritos oficiais de 2020

O Inep também mantém uma página geral com o histórico de provas e gabaritos do Enem.

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