10 Exercícios de Arranjo Simples com e Gabarito
Em resumo:
- No arranjo simples, trocar a ordem dos elementos escolhidos gera um agrupamento diferente.
- A fórmula do arranjo simples é A(n,k) = n! / (n − k)!, usada quando se escolhem k elementos distintos entre n disponíveis.
- Qualquer exercício de arranjo simples também pode ser resolvido multiplicando diretamente as possibilidades de cada etapa, pelo Princípio Fundamental da Contagem.
Decidir a ordem de um pódio, criar uma senha numérica ou definir em que cadeira cada pessoa vai sentar são situações do dia a dia que escondem o mesmo problema matemático: contar quantos agrupamentos diferentes existem quando a posição de cada elemento muda o resultado.
Esse é o território do arranjo simples, um dos conteúdos mais cobrados em exercícios de análise combinatória.
Acompanhe, a seguir, 10 exercícios sobre o tema e teste seus conhecimentos.
Exercícios sobre arranjo simples
Questão 1
Em uma competição de robótica, 10 equipes disputam os três primeiros lugares: ouro, prata e bronze. Sabendo que não há empate e que cada equipe só pode ocupar uma posição, de quantas formas diferentes esse pódio pode ser definido?
- a) 120
- b) 360
- c) 720
- d) 1000
- e) 5040
A alternativa correta é a letra c. Como as posições são distintas e não pode haver repetição de equipe, o cálculo é 10 × 9 × 8, considerando uma opção a menos em cada etapa à medida que uma equipe já é posicionada. O resultado é 720 formas diferentes de compor o pódio, o mesmo valor obtido pela fórmula A(10,3) = 10!/7!.
Questão 2
Doze atletas participam de uma prova final. Serão distribuídas três medalhas distintas: ouro, prata e bronze. De quantas maneiras diferentes esse resultado final pode ocorrer?
- a) 220
- b) 660
- c) 990
- d) 1320
- e) 1716
A alternativa correta é a letra d. Multiplicando as opções disponíveis para cada medalha — 12 possibilidades para o ouro, 11 para a prata (já que um atleta foi definido) e 10 para o bronze —, chega-se a 12 × 11 × 10 = 1320 resultados possíveis. Trocar a posição de dois atletas já classificados sempre gera um resultado diferente, o que confirma tratar-se de um arranjo simples.
Questão 3
Uma gincana escolar reúne 8 equipes. Ao final, serão definidas a equipe campeã, a vice-campeã e a terceira colocada. De quantas formas diferentes esse resultado pode ser definido?
- a) 56
- b) 168
- c) 336
- d) 512
- e) 720
A alternativa correta é a letra c. Há 8 opções para o primeiro lugar, 7 para o segundo e 6 para o terceiro, já que cada posição consome uma equipe disponível. O produto 8 × 7 × 6 resulta em 336 possibilidades, cada uma correspondendo a uma combinação diferente de equipes e posições.
Questão 4
Uma senha bancária é formada por 4 algarismos distintos, escolhidos entre os algarismos de 0 a 9, sem repetição. Quantas senhas diferentes podem ser criadas seguindo essa regra?
- a) 210
- b) 720
- c) 5040
- d) 10000
- e) 151200
A alternativa correta é a letra c. Para o primeiro algarismo há 10 opções; para o segundo, 9, porque um algarismo já foi usado; para o terceiro, 8; e para o quarto, 7. Multiplicando 10 × 9 × 8 × 7, obtém-se 5040 senhas possíveis, exatamente o valor de A(10,4), aplicando o Princípio Fundamental da Contagem sem precisar decorar a fórmula.
Questão 5
Um cofre utiliza um código de 3 dígitos distintos, escolhidos entre os algarismos de 1 a 9, sem repetição. Quantos códigos diferentes podem ser formados?
- a) 84
- b) 252
- c) 504
- d) 729
- e) 3024
A alternativa correta é a letra c. São 9 opções para o primeiro dígito, 8 para o segundo e 7 para o terceiro, já que cada posição reduz em uma unidade a quantidade de algarismos ainda disponíveis. O produto 9 × 8 × 7 resulta em 504 códigos possíveis.
Questão 6
Uma empresa usa senhas de acesso formadas por 2 letras distintas, escolhidas entre as 5 letras A, B, C, D e E. A ordem das letras na senha importa. Quantas senhas diferentes podem ser formadas?
- a) 10
- b) 15
- c) 20
- d) 25
- e) 30
A alternativa correta é a letra c. Há 5 opções para a primeira letra e 4 para a segunda, já que as letras não podem se repetir. O produto 5 × 4 resulta em 20 senhas diferentes, o que corresponde a A(5,2).
Questão 7
Em uma sala de espera há 6 cadeiras dispostas em fila e numeradas de 1 a 6. Quatro pessoas — A, B, C e D — vão se sentar, cada uma em uma cadeira diferente. De quantas formas distintas essas quatro pessoas podem se acomodar nas cadeiras?
- a) 24
- b) 120
- c) 180
- d) 360
- e) 720
A alternativa correta é a letra d. A primeira pessoa pode escolher entre 6 cadeiras, a segunda entre 5, a terceira entre 4 e a quarta entre 3 cadeiras restantes. O produto 6 × 5 × 4 × 3 resulta em 360 formas diferentes de acomodação, e cada troca de cadeira entre duas pessoas já sentadas conta como uma distribuição distinta, confirmando o arranjo simples A(6,4).
Questão 8
Em um banco de 5 lugares numerados, 3 alunos vão se sentar em posições diferentes dentro desse banco. Considerando que cada posição ocupada é diferente das demais, de quantas formas esses 3 alunos podem se acomodar?
- a) 10
- b) 20
- c) 60
- d) 125
- e) 720
A alternativa correta é a letra c. Há 5 opções para o primeiro aluno, 4 para o segundo e 3 para o terceiro, já que cada posição ocupada reduz as opções restantes. O produto 5 × 4 × 3 resulta em 60 formas diferentes de acomodação.
Questão 9
Uma empresa precisa escolher, entre 7 candidatos, uma pessoa para o cargo de diretor, outra para gerente e outra para supervisor, sendo os três cargos diferentes entre si. De quantas maneiras essa escolha pode ser feita?
- a) 35
- b) 105
- c) 210
- d) 343
- e) 5040
A alternativa correta é a letra c. Como os cargos são distintos, trocar dois candidatos de cargo já escolhido gera uma distribuição diferente, o que caracteriza um arranjo simples, e não uma combinação. O cálculo é 7 × 6 × 5, considerando um candidato a menos disponível a cada cargo preenchido, resultando em 210 possibilidades.
Questão 10
Analise as três situações abaixo e identifique em qual delas o número de possibilidades deve ser calculado por arranjo simples, e não por combinação.
I. Escolher 3 frutas, sem considerar a ordem, entre 7 frutas disponíveis, para montar uma salada. II. Escolher 3 pessoas, entre 7 candidatos, para ocupar os cargos de presidente, vice-presidente e secretário. III. Escolher 3 números, sem repetição e sem importar a ordem, para formar um subconjunto de 7 números.
- a) Apenas I
- b) Apenas II
- c) Apenas III
- d) I e III
- e) II e III
A alternativa correta é a letra b. Nas situações I e III, a ordem de escolha não altera o resultado, porque os elementos escolhidos têm o mesmo papel dentro do grupo formado — são, portanto, problemas de combinação. Já na situação II, cada posição corresponde a um cargo diferente, de modo que trocar duas pessoas de cargo já definido cria uma distribuição distinta, o que exige o cálculo por arranjo simples.
Perguntas frequentes sobre arranjo simples
Qual é a diferença entre arranjo simples e combinação?
Faça o teste da troca: se inverter dois elementos muda quem ocupa cada posição, há arranjo simples. Se a troca mantém o mesmo grupo escolhido, trata-se de combinação.
Quando usar arranjo com repetição?
O arranjo simples pressupõe que nenhum elemento se repete dentro do agrupamento escolhido. Quando o mesmo elemento pode aparecer mais de uma vez — como em uma senha que permite dígitos repetidos —, o problema deixa de ser arranjo simples e passa a exigir o cálculo específico de arranjo com repetição, que multiplica n por ele mesmo k vezes, sem reduzir as opções a cada etapa.
Como resolver arranjo simples sem fórmula, pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC)?
Basta multiplicar o número de opções disponíveis em cada etapa da escolha, reduzindo em uma unidade a quantidade de elementos restantes a cada posição já ocupada. Esse caminho leva ao mesmo resultado da fórmula e costuma ser mais fácil de visualizar durante a prova.
O que significam n e k na fórmula do arranjo?
Na fórmula A(n,k) = n!/(n − k)!, n é o número total de elementos disponíveis no conjunto, e k é a quantidade de elementos que serão escolhidos e ordenados dentro desse conjunto. O resultado representa quantos agrupamentos ordenados diferentes de k elementos podem ser formados a partir dos n disponíveis.
Arranjo simples cai no Enem e nos vestibulares?
Sim, problemas de contagem que envolvem ordem — como pódios, senhas e distribuição de pessoas em posições — costumam aparecer em provas de análise combinatória do Enem e de vestibulares, geralmente exigindo que o candidato identifique se a ordem importa antes de escolher entre arranjo e combinação.
Como identificar se a ordem importa no problema?
Pergunte se trocar dois elementos já escolhidos de posição muda o resultado prático da situação — por exemplo, se muda quem recebe a medalha de ouro, qual dígito vem primeiro na senha ou quem ocupa qual cadeira. Se a resposta for sim, o problema é de arranjo simples; se a resposta for não, é de combinação.
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