10 exercícios de logaritmos com gabarito
Em resumo:
- A definição log_b(a) = x equivale a b^x = a e resolve a maioria das questões sem propriedade adicional.
- As propriedades do produto e do quociente transformam log de uma expressão composta em soma ou diferença de logaritmos mais simples.
- Mudança de base é útil quando a base da pergunta não é a mesma do valor fornecido no enunciado.
- Toda equação logarítmica exige checar se a base é positiva e diferente de 1 e se o argumento é positivo antes de aceitar uma solução.
Logaritmo é a operação inversa da potenciação: log_b(a) = x se, e somente se, b elevado a x for igual a a, desde que a base b seja positiva e diferente de 1, e o argumento a seja positivo.
Essa é a relação que sustenta todas as questões desta lista. Os exercícios 1 a 4 trabalham a definição isoladamente, os exercícios 5 a 7 exigem as propriedades operatórias e os exercícios 8 a 10 pedem equação logarítmica com verificação de domínio.
Exercícios sobre logaritmos
Questão 1
Qual é o valor de log_2(8)?
- a) 1
- b) 2
- c) 3
- d) 4
- e) 8
Questão 2
Se log_x(81) = 4, qual é o valor de x?
- a) 3
- b) 9
- c) 4
- d) 27
- e) 81
Questão 3
Qual é o valor de log_5(1/25)?
- a) -2
- b) 2
- c) -1/2
- d) 1/2
- e) 5
Questão 4
Qual é o valor de log_3(log_2(8))?
- a) 0
- b) 1
- c) 2
- d) 3
- e) 9
Questão 5
Considerando log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, qual é o valor de log 6?
- a) 0,18
- b) 0,78
- c) 1,08
- d) 1,80
- e) 0,08
Questão 6
Considerando log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, qual é o valor de log 1,5?
- a) 0,18
- b) -0,18
- c) 0,78
- d) 1,8
- e) 0,30
A questão 7 exige mudança de base: quando a base pedida não é a mesma da expressão disponível, reescreve-se log_b(a) como uma razão de logaritmos em outra base comum, geralmente a base 2 ou a base 10.
Questão 7
Qual é o valor de log_4(8)?
- a) 3/2
- b) 2
- c) 4
- d) 8/4
- e) 1
Questão 8
Qual é o valor de x que satisfaz log_2(x + 3) = 4?
- a) 13
- b) 16
- c) 4
- d) -3
- e) 19
Questão 9
Qual é o valor de x que satisfaz log_3(x) + log_3(x – 2) = 1?
- a) x = 3
- b) x = -1
- c) x = 3 ou x = -1
- d) x = 1
- e) Não há solução real
A questão 10 é um exercício original com situação hipotética de laboratório, criada apenas para ilustrar uma aplicação de logaritmo e sem relação com caso real ou dado de prova.
Questão 10
Considere a situação hipotética a seguir: uma cultura de bactérias em experimento de laboratório segue o modelo N(t) = N0 · 10^(t/k), em que N0 é a população inicial, t é o tempo em horas e k é uma constante. Se N(t) = 100 · N0 quando t = 4 horas, qual é o valor de k?
- a) 2
- b) 4
- c) 0,5
- d) 8
- e) 10
Gabarito com resoluções comentadas
As respostas abaixo não dependem de autoridade externa: cada uma decorre diretamente da resolução matemática apresentada na sequência, que pode ser refeita passo a passo para confirmação.
| Questão | Resposta correta |
|---|---|
| 1 | c |
| 2 | a |
| 3 | a |
| 4 | b |
| 5 | b |
| 6 | a |
| 7 | a |
| 8 | a |
| 9 | a |
| 10 | a |
Nas questões 1 a 4, a resolução segue apenas a definição. Na questão 1, como 2³ = 8, log_2(8) = 3. Na questão 2, x⁴ = 81 = 3⁴, logo x = 3. Na questão 3, 5⁻² = 1/25, logo log_5(1/25) = -2. Na questão 4, log_2(8) = 3 primeiro, e depois log_3(3) = 1, resultando na alternativa b.
Nas questões 5 a 7, as propriedades operatórias conduzem ao resultado. Na questão 5, log 6 = log(2·3) = log 2 + log 3 = 0,30 + 0,48 = 0,78. Na questão 6, log 1,5 = log(3/2) = log 3 – log 2 = 0,48 – 0,30 = 0,18. Na questão 7, log_4(8) = log_2(8) / log_2(4) = 3/2, pela mudança de base.
Na questão 8, x + 3 = 2⁴ = 16, logo x = 13, e 13 + 3 = 16 é positivo, satisfazendo o domínio.
Na questão 9, a equação se reduz a log_3[x(x-2)] = 1, logo x(x-2) = 3, ou seja, x² – 2x – 3 = 0, com raízes x = 3 e x = -1; como o argumento x – 2 exige x > 2, apenas x = 3 é válido.
Na questão 10, 100 = 10^(4/k) e, como 100 = 10², então 4/k = 2, logo k = 2.
Perguntas frequentes sobre exercícios de logaritmo
Como calcular log_b(a) sem calculadora?
Quando a é uma potência exata de b, basta encontrar o expoente x tal que b^x = a. Quando não é, costuma-se usar um valor aproximado fornecido no próprio enunciado, combinado com as propriedades do produto, do quociente ou da potência.
Qual é a diferença entre a propriedade do produto e a do quociente?
A propriedade do produto transforma log(a·b) na soma log(a) + log(b), enquanto a propriedade do quociente transforma log(a/b) na diferença log(a) – log(b). Ambas decorrem diretamente da definição de logaritmo como inverso da potenciação.
Como verificar a condição de existência em uma equação logarítmica?
Depois de encontrar as soluções candidatas, é preciso substituir cada uma de volta no enunciado original e confirmar que a base permanece positiva e diferente de 1 e que todo argumento permanece estritamente positivo. Qualquer solução que viole essa regra deve ser descartada.
Por que log_b(1) é sempre igual a zero?
Porque, pela definição, log_b(1) = x significa b^x = 1, e qualquer base válida elevada ao expoente zero resulta em 1. Por isso x = 0 em qualquer base positiva e diferente de 1.
Como usar valores aproximados de log 2 e log 3 dados em uma prova?
Esses valores substituem o cálculo direto de logaritmos que não são potências exatas de 10. A partir deles, aplica-se produto, quociente ou potência para chegar ao logaritmo pedido, sem precisar de calculadora.
O que fazer quando uma equação logarítmica tem duas soluções possíveis?
É necessário testar cada uma separadamente nas condições de existência do enunciado original. Se apenas uma mantiver todos os argumentos positivos e a base válida, essa é a única resposta aceitável.
Logaritmo natural segue as mesmas propriedades do logaritmo decimal?
Sim. As propriedades do produto, do quociente, da potência e da mudança de base valem para qualquer base válida, incluindo a base natural; o que muda é apenas o valor numérico de referência usado nos cálculos.
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