10 exercícios de permutação com gabarito comentado
Em resumo:
- O texto apresenta a fórmula de permutação simples, P(n) = n!, e a fórmula de permutação com repetição, usadas nos dez exercícios.
- Os exercícios 1 a 5 cobrem permutação simples em contextos como filas, sorteios e anagramas sem letras repetidas.
- Os exercícios 6 a 10 cobrem permutação com repetição e terminam com um problema que combina os dois raciocínios.
Quem está estudando análise combinatória costuma travar no mesmo ponto: decidir se a ordem dos elementos muda o resultado de um problema de contagem.
Permutação é justamente o conceito que resolve essa decisão, e a forma mais direta de fixá-lo é resolver questões no formato em que elas aparecem de fato.
Questões de análise combinatória, incluindo permutação, aparecem com frequência em materiais de preparação para exames de diferentes níveis, o que justifica reservar um espaço só para praticar esse tipo de questão sem se preocupar, neste momento, em esgotar a teoria.
O que é permutação?
Permutação é o nome dado ao arranjo de um conjunto de elementos distintos em que a ordem de colocação altera o resultado.
Trocar a posição de dois elementos cria um arranjo diferente, mesmo que o conjunto de elementos envolvidos seja exatamente o mesmo.
Quando todos os n elementos de um conjunto são distintos e todos participam do arranjo, o número total de permutações possíveis é dado por P(n) = n!, ou seja, o produto de n por todos os números inteiros positivos menores que ele.
Por exemplo, para organizar 4 objetos distintos em sequência, o cálculo é P(4) = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 arranjos diferentes.
Exercícios sobre permutação
Exercício 1
De quantas maneiras 5 amigos podem se organizar em uma fila para tirar uma foto, um ao lado do outro?
- a) 24
- b) 60
- c) 100
- d) 120
- e) 150
Exercício 2
Quantos anagramas diferentes podem ser formados com as quatro letras da palavra “AMOR”, sem repetir nenhuma letra?
- a) 12
- b) 16
- c) 24
- d) 36
- e) 48
Exercício 3
Uma estante tem espaço para exatamente 6 livros diferentes, lado a lado. De quantas formas distintas esses 6 livros podem ser organizados na estante?
- a) 120
- b) 360
- c) 600
- d) 720
- e) 840
Exercício 4
Em uma corrida com 4 participantes, sem possibilidade de empate, quantas sequências diferentes de 1º ao 4º lugar são possíveis?
- a) 6
- b) 12
- c) 18
- d) 24
- e) 30
Exercício 5
Sete pessoas vão se sentar em sete cadeiras numeradas, uma pessoa por cadeira. Quantas disposições diferentes dessas sete pessoas nas cadeiras são possíveis?
- a) 720
- b) 2.520
- c) 5.040
- d) 10.080
- e) 40.320
Exercício 6
Quantos anagramas distintos existem para a palavra “BANANA”?
- a) 30
- b) 60
- c) 120
- d) 180
- e) 360
Exercício 7
A palavra “ARARA” tem quantos anagramas diferentes?
- a) 5
- b) 10
- c) 20
- d) 30
- e) 60
Exercício 8
Uma senha deve ser formada reorganizando os quatro dígitos do número 1.122, usando cada dígito exatamente na quantidade informada (dois algarismos 1 e dois algarismos 2). Quantas senhas diferentes podem ser formadas?
- a) 4
- b) 6
- c) 8
- d) 12
- e) 24
Exercício 9
Uma placa de identificação deve ser formada usando cinco caracteres: duas letras “A” e três letras “B”, cada caractere ocupando uma posição na sequência. Quantas placas distintas podem ser formadas?
- a) 5
- b) 10
- c) 20
- d) 30
- e) 60
Exercício 10
Em uma competição com 8 atletas, sem possibilidade de empate, serão distribuídas 3 medalhas (ouro, prata e bronze) aos três primeiros colocados. Depois da entrega das medalhas, os 5 atletas restantes também precisam ser organizados em uma lista de classificação, do 4º ao 8º lugar. De quantas formas diferentes esse processo completo — pódio mais lista de classificação dos demais — pode ocorrer?
- a) 336
- b) 1.680
- c) 6.720
- d) 40.320
- e) 161.280
Gabarito comentado dos 10 exercícios
Cada resolução aplica diretamente P(n) = n! ou a fórmula de permutação com repetição.
| Exercício | Resposta | Resolução resumida |
|---|---|---|
| 1 | d) 120 | P(5) = 5! = 120, pois os 5 amigos são distintos e a ordem na fila importa. |
| 2 | c) 24 | P(4) = 4! = 24, já que as quatro letras de “AMOR” são distintas. |
| 3 | d) 720 | P(6) = 6! = 720, pois os 6 livros são distintos e a posição na estante importa. |
| 4 | d) 24 | P(4) = 4! = 24, pois cada ordem de chegada dos 4 participantes é um arranjo diferente. |
| 5 | c) 5.040 | P(7) = 7! = 5.040, pois as 7 pessoas e as 7 cadeiras formam um arranjo distinto a cada troca. |
| 6 | b) 60 | “BANANA” tem 6 letras, com A repetido 3 vezes e N repetido 2 vezes: 6! / (3! · 2!) = 720 / 12 = 60. |
| 7 | b) 10 | “ARARA” tem 5 letras, com A repetido 3 vezes e R repetido 2 vezes: 5! / (3! · 2!) = 120 / 12 = 10. |
| 8 | b) 6 | Os dígitos 1, 1, 2, 2 formam 4! / (2! · 2!) = 24 / 4 = 6 senhas diferentes. |
| 9 | b) 10 | Os caracteres A, A, B, B, B formam 5! / (2! · 3!) = 120 / 12 = 10 placas diferentes. |
| 10 | d) 40.320 | Distribuir o pódio entre 3 dos 8 atletas e depois ordenar os 5 restantes equivale a ordenar os 8 atletas por completo: P(8) = 8! = 40.320. |
Perguntas frequentes sobre permutação
Qual é a diferença entre permutação e combinação?
Na permutação, a ordem dos elementos altera o resultado: trocar a posição de dois elementos cria um arranjo diferente. Na combinação, a ordem não importa: o que conta é apenas quais elementos foram escolhidos, independentemente da sequência em que aparecem.
Quando devo usar a fórmula P(n) = n!?
Use essa fórmula quando todos os elementos do conjunto forem distintos entre si, todos participarem do arranjo final e a ordem em que aparecem mudar o resultado do problema, como em filas, sequências de chegada ou anagramas de palavras sem letras repetidas.
Como sei que preciso usar a fórmula de permutação com repetição?
O sinal mais claro é a presença de elementos idênticos dentro do conjunto, como letras repetidas em uma palavra ou dígitos repetidos em uma senha. Nesses casos, dividir n! pelo fatorial da quantidade de cada elemento repetido evita contar como diferentes arranjos que, na prática, são idênticos.
Por que os exercícios deste texto não são atribuídos a provas como o Enem?
Porque atribuir uma questão a uma prova específica exige confirmar a origem exata do enunciado e ter autorização para reproduzi-lo. Como esse tipo de confirmação não estava disponível para a elaboração deste material, optou-se por exercícios autorais no mesmo formato de múltipla escolha, sem vincular nenhum deles a um exame nomeado.
É preciso saber outros tópicos de análise combinatória para resolver exercícios de permutação?
Não é obrigatório, mas ajuda. Entender a ideia de fatorial e a diferença entre ordem importar ou não é suficiente para resolver os dez exercícios deste material. Arranjo e combinação se tornam úteis quando o problema envolve escolher apenas parte dos elementos de um conjunto, o que não é o caso aqui.
A permutação costuma aparecer em exames de matemática do ensino médio?
A análise combinatória, incluindo permutação, costuma fazer parte do currículo de matemática do ensino médio e aparece em diferentes materiais de preparação para exames. Isso não significa que ela apareça em todo exame específico; o mais seguro é tratar a permutação como um tópico recorrente de estudo, não como garantia de incidência em uma prova determinada.
Qual é o próximo assunto a estudar depois de dominar permutação?
Depois de resolver bem os dois modelos de permutação, os passos naturais são o arranjo, que trata da escolha de apenas parte dos elementos de um conjunto considerando a ordem, a combinação, que ignora a ordem, e a probabilidade, que costuma usar os resultados da análise combinatória como base de cálculo.
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