Em resumo:

• Função afim: é representada por f(x) = ax + b, em que a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. O gráfico é uma reta.
• Principais conceitos cobrados: identificação dos coeficientes, cálculo da raiz ou zero da função, análise de crescimento e decrescimento e interpretação de gráficos e situações do cotidiano.
• Vestibulares e Enem: questões de função afim podem aparecer em diferentes contextos, como tarifas, custos, oferta e demanda e interpretação de gráficos.

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Imagem: Brasil Escola

A função afim é um dos conteúdos de Matemática que pode aparecer em questões de vestibulares e do Enem.

O tema envolve situações que podem ser representadas pela expressão f(x) = ax + b, além da interpretação de gráficos, identificação dos coeficientes e análise do crescimento ou decrescimento de uma função.

Para ajudar na preparação para as provas, selecionamos exercícios baseados em questões do Enem, Unicamp e Fuvest. As atividades foram adaptadas das provas originais e acompanhadas de resolução e gabarito.

O que é função afim?

A função afim é uma função polinomial de primeiro grau representada, de maneira geral, por:

f(x) = ax + b

Os números a e b são reais e representam os coeficientes da função.

O coeficiente angular, representado por a, indica a taxa de variação da função. Já o coeficiente linear, representado por b, corresponde ao valor de f(x) quando x = 0.

Assim:

f(0) = b

O gráfico de uma função afim é uma reta no plano cartesiano.

Quando:

• a > 0, a função é crescente;
• a < 0, a função é decrescente;
• a = 0, a função é constante.

Como calcular a raiz de uma função afim?

A raiz ou zero da função é o valor de x para o qual:

f(x) = 0

Considerando:

f(x) = ax + b

temos:

ax + b = 0

Logo:

x = -b/a

Essa relação é bastante utilizada em questões que pedem o ponto em que uma determinada grandeza chega a zero ou em que duas relações lineares se encontram.

Exercícios de função afim

1. Função afim em uma situação de cobrança

Vestibular: Enem
Ano: 2010
Questão original: questão 158, na versão da prova consultada
Tema: lei de formação da função afim

Uma empresa de bicicletas oferece um plano anual por 24 dólares. O usuário pode utilizar o serviço durante determinado período sem cobrança adicional. Caso ultrapasse esse limite, paga 3 dólares por hora extra.

Considere x como o número de horas extras utilizadas durante o período de um ano.

Qual expressão representa o valor total pago pelo usuário?

A) f(x) = 3x
B) f(x) = 24
C) f(x) = 27
D) f(x) = 3x + 24
E) f(x) = 24x + 3

Resolução

O plano possui uma cobrança fixa de 24 dólares. Esse valor corresponde ao coeficiente linear b.

Além disso, cada hora extra acrescenta 3 dólares ao preço. Portanto, esse valor corresponde ao coeficiente angular a.

A função pode ser escrita como:

f(x) = 3x + 24

Gabarito: D

A questão exige que o estudante reconheça a estrutura da função afim em uma situação cotidiana. O valor fixo representa b, enquanto o valor cobrado por hora extra representa a.

• Fonte da questão: Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep), Enem 2010, prova de Matemática e suas Tecnologias.
• A questão está disponível no documento oficial da prova.

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2. Função afim e composição de funções

Vestibular: Unicamp
Ano: 2016
Fase: 1ª fase
Questão: 5
Tema: propriedades da função afim

Considere uma função afim:

f(x) = ax + b

Sabendo que:

f(4) = 2

determine o valor de:

f(f(3) + f(5))

Resolução

Primeiro, sabemos que:

f(4) = 4a + b = 2

Agora, calculamos a soma:

f(3) + f(5)

Como:

f(3) = 3a + b

e

f(5) = 5a + b

temos:

f(3) + f(5) = 8a + 2b

Colocando 2 em evidência:

f(3) + f(5) = 2(4a + b)

Como 4a + b = 2, então:

f(3) + f(5) = 2 × 2 = 4

Portanto:

f(f(3) + f(5)) = f(4)

Como o enunciado informa que f(4) = 2:

Gabarito: 2

A questão mostra que nem sempre é necessário descobrir individualmente os valores de a e b. A propriedade algébrica da função permite reorganizar a expressão até chegar a um valor conhecido.

• Fonte da questão: Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), Vestibular 2016, 1ª fase, questão 5.
• A resolução comentada da prova também confirma a alternativa D como resposta.

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3. Função afim em um problema de oferta e demanda

Vestibular: Enem
Ano: 2012
Questão: 143
Tema: ponto de equilíbrio entre duas funções

Em um modelo econômico, as quantidades ofertada e demandada de determinado produto são representadas por:

QO = -20 + 4P

QD = 46 – 2P

Em que P representa o preço do produto.

O preço de equilíbrio ocorre quando a quantidade ofertada é igual à quantidade demandada.

Qual é o preço de equilíbrio?

A) 5
B) 11
C) 13
D) 23
E) 33

Resolução

No ponto de equilíbrio:

QO = QD

Portanto:

-20 + 4P = 46 – 2P

Reunindo os termos que possuem P:

4P + 2P = 46 + 20

6P = 66

Logo:

P = 11

Gabarito: B

A questão trabalha com duas relações lineares. Para encontrar o ponto de equilíbrio, basta igualar as duas funções e resolver a equação resultante.

• Fonte da questão: Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep), Enem 2012, prova de Matemática e suas Tecnologias, questão 143.

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4. Função afim representada por um gráfico

Vestibular: Enem
Ano: 2016
Questão: 174 na versão do Caderno 6, Cinza
Tema: gráfico, taxa de variação e função afim

Uma cisterna com 6.000 litros começa a ser esvaziada. Durante a primeira hora, o volume passa de 6.000 para 5.000 litros. Nas duas horas seguintes, uma segunda bomba é acionada junto com a primeira e o reservatório chega a zero.

O gráfico que representa o volume da cisterna em função do tempo possui dois segmentos de reta.

Qual é a vazão da bomba que foi acionada no início da segunda hora?

A) 1.000 L/h
B) 1.250 L/h
C) 1.500 L/h
D) 2.000 L/h
E) 2.500 L/h

Resolução

Durante a primeira hora, o volume diminuiu de:

6.000 – 5.000 = 1.000 litros

Portanto, a primeira bomba retira:

1.000 L/h

Nas duas horas seguintes, o volume diminui de 5.000 litros para zero.

A vazão conjunta das duas bombas é:

5.000 ÷ 2 = 2.500 L/h

Como a primeira bomba continua funcionando com vazão de 1.000 L/h, a segunda bomba corresponde a:

2.500 – 1.000 = 1.500 L/h

Gabarito: C

A questão exige a interpretação da inclinação de cada segmento da reta. Em uma representação gráfica de uma função afim, a taxa de variação está relacionada à inclinação da reta.

• Fonte da questão: Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep), Enem 2016, prova de Matemática e suas Tecnologias.

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5. Função afim aplicada ao cálculo de tarifas

Vestibular: Fuvest
Ano: 2023
Fase: 2ª fase
Questão: M01
Tema: função afim, comparação de funções e sistemas

Duas empresas fazem entregas de mercadorias.

A empresa A cobra R$ 4 por quilograma, além de uma taxa fixa de R$ 30.

A empresa B cobra R$ 6 por quilograma para encomendas de até 30 kg. Para encomendas acima de 30 kg, a cobrança passa a ser de R$ 2 por quilograma, mais uma taxa fixa de R$ 120.

a) Qual é a função que representa o preço cobrado pela empresa A?

Resolução

O valor cobrado pela empresa A possui:

• taxa variável de R$ 4 por quilograma;
• taxa fixa de R$ 30.

Se x representa o peso da encomenda, temos:

A(x) = 4x + 30

Resposta: A(x) = 4x + 30

b) Para quais pesos a empresa A é mais barata que a empresa B?

Para encomendas de até 30 kg, a empresa B cobra:

B(x) = 6x

Precisamos comparar:

4x + 30 < 6x

30 < 2x

x > 15

Assim, entre 15 kg e 30 kg, a empresa A apresenta preço menor.

Para encomendas acima de 30 kg, a empresa B cobra:

B(x) = 2x + 120

Comparando:

4x + 30 < 2x + 120

2x < 90

x < 45

Considerando que estamos na faixa de encomendas acima de 30 kg, a empresa A é mais barata até 45 kg.

Portanto, a comparação exige atenção porque a empresa B utiliza uma função definida por diferentes intervalos.

• Fonte da questão: Fundação Universitária para o Vestibular (Fuvest), Vestibular USP 2023, 2ª fase, questão M01. O enunciado original está disponível no acervo oficial da Fuvest.

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Como resolver exercícios de função afim?

Para resolver questões de função afim, vale seguir uma sequência de análise.

1. Identifique a variável

Descubra qual grandeza depende da outra.

Em uma questão sobre tarifas, por exemplo, o preço pode depender da quantidade de quilômetros percorridos.

2. Procure o valor fixo

Quando existe uma cobrança inicial, esse valor normalmente corresponde ao coeficiente linear b.

Na função:

f(x) = ax + b

o número b é o valor inicial da função.

3. Identifique a taxa de variação

Observe quanto a grandeza aumenta ou diminui a cada unidade da variável.

Esse valor corresponde ao coeficiente angular a.

4. Observe o gráfico

No gráfico de uma função afim, a reta permite identificar informações importantes:

• inclinação da reta: indica a taxa de variação;
• intercepto no eixo y: corresponde ao coeficiente linear;
• ponto em que a reta cruza o eixo x: corresponde à raiz da função.

5. Verifique se a função é crescente ou decrescente

O sinal do coeficiente angular ajuda nessa análise.

Se:

a > 0 → função crescente

Se:

a < 0 → função decrescente

Se:

a = 0 → função constante

Como calcular a raiz de uma função afim?

Para encontrar a raiz, basta fazer:

f(x) = 0

Se:

f(x) = ax + b

então:

ax + b = 0

e:

x = -b/a

Exemplo

Considere:

f(x) = 2x – 8

Para encontrar a raiz:

2x – 8 = 0

2x = 8

x = 4

Assim, a raiz da função é 4.

No gráfico, isso significa que a reta cruza o eixo x no ponto:

(4, 0)

Como identificar os coeficientes de uma função afim?

Na expressão:

f(x) = ax + b

o coeficiente a é o coeficiente angular e determina a taxa de variação da função.

O coeficiente b é o coeficiente linear e indica o ponto em que a reta cruza o eixo vertical.

Por exemplo:

f(x) = 3x + 5

Nesse caso:

• a = 3;
• b = 5;
• a função é crescente;
• o gráfico cruza o eixo y no ponto (0, 5).

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