10 Exercícios de Combinação com Gabarito
Em resumo:
- Os exercícios passam de seleções simples para situações com restrições e princípios de contagem combinados.
- Combinação com restrições, como elementos obrigatórios, vedados ou cotas, exige separar escolhas independentes ou usar o princípio complementar antes de aplicar a fórmula.
Diante de um problema de contagem, é comum hesitar entre permutação, arranjo e combinação, porque as três fórmulas lidam com seleção de elementos de um conjunto, mas produzem resultados diferentes para o mesmo grupo de dados.
A pergunta que resolve essa hesitação é simples: trocar a ordem dos elementos escolhidos muda o resultado? Se a resposta for não, o problema é de combinação.
Exercícios sobre combinação
Questão 1
Uma empresa precisa formar uma comissão de 3 pessoas entre 8 candidatos igualmente qualificados, sem distinção de função dentro da comissão. De quantas maneiras distintas essa comissão pode ser formada?
- a) 56
- b) 112
- c) 168
- d) 336
- e) 672
Resposta: alternativa a. O cálculo é C(8,3) = 8! / (3! × 5!) = 56, porque a comissão não distingue papéis entre seus membros.
Questão 2
Um professor tem 10 livros diferentes e quer escolher 4 para emprestar a um único aluno, sem se importar com a ordem em que os entrega. Quantos conjuntos diferentes de livros ele pode formar?
- a) 5040
- b) 210
- c) 720
- d) 840
- e) 120
Resposta: alternativa b. O cálculo é C(10,4) = 10! / (4! × 6!) = 210, pois o conjunto de livros entregues é o mesmo independentemente da ordem de entrega.
Questão 3
Em uma urna há 12 bolas numeradas de 1 a 12. Quantas maneiras existem de selecionar 5 bolas, sem reposição e sem considerar a ordem em que elas saem da urna?
- a) 792
- b) 495
- c) 660
- d) 924
- e) 1320
Resposta: alternativa a. O cálculo é C(12,5) = 12! / (5! × 7!) = 792, já que retirar as bolas em ordens diferentes não altera o conjunto final selecionado.
Questão 4
Uma equipe de 5 integrantes será escolhida entre 7 engenheiros e 3 arquitetos, totalizando 10 profissionais disponíveis. Sabendo que a equipe deve ter exatamente 2 arquitetos, de quantas maneiras ela pode ser formada?
- a) 105
- b) 210
- c) 35
- d) 70
- e) 140
Resposta: alternativa a. Escolhem-se os 2 arquitetos entre 3 — C(3,2) = 3 — e os 3 engenheiros restantes entre 7 — C(7,3) = 35. Multiplicando as duas escolhas independentes, 3 × 35 = 105.
Questão 5
Um comitê de 4 pessoas será formado a partir de 9 candidatos, mas um deles, que ocupa um cargo fixo, precisa participar obrigatoriamente. De quantas formas o comitê pode ser montado?
- a) 56
- b) 126
- c) 70
- d) 28
- e) 84
Resposta: alternativa a. Com o integrante obrigatório já fixado, restam 3 vagas a preencher entre os outros 8 candidatos: C(8,3) = 56.
Questão 6
Em um grupo de 10 pessoas, duas delas não podem compor a mesma comissão de 4 membros por conflito de interesse. Quantas comissões distintas de 4 pessoas podem ser formadas respeitando essa restrição?
- a) 182
- b) 196
- c) 168
- d) 210
- e) 154
Resposta: alternativa a. O total sem restrição é C(10,4) = 210. Desse total, subtraem-se os casos em que as duas pessoas incompatíveis aparecem juntas: fixando as duas, restam 2 vagas entre as outras 8 pessoas, C(8,2) = 28. Logo, 210 − 28 = 182.
Questão 7
Uma loja tem 6 modelos de camisa e 4 modelos de calça. Um cliente deseja comprar 2 camisas diferentes e 1 calça. De quantas maneiras ele pode fazer essa escolha, combinando os itens?
- a) 60
- b) 24
- c) 120
- d) 36
- e) 80
Resposta: alternativa a. Escolhem-se 2 camisas entre 6 — C(6,2) = 15 — e 1 calça entre 4 — C(4,1) = 4. Pelo princípio multiplicativo, 15 × 4 = 60.
Questão 8
Em uma caixa há 5 bolas vermelhas e 6 bolas azuis. De quantas formas é possível selecionar 4 bolas de modo que pelo menos 3 sejam vermelhas?
- a) 65
- b) 70
- c) 55
- d) 75
- e) 60
Resposta: alternativa a. Há dois casos mutuamente exclusivos: exatamente 3 vermelhas e 1 azul — C(5,3) × C(6,1) = 10 × 6 = 60 — ou exatamente 4 vermelhas — C(5,4) = 5. Pelo princípio aditivo, 60 + 5 = 65.
Questão 9
Uma comissão de 6 pessoas deve ser formada a partir de 15 associados, de modo que pelo menos um deles pertença a um subgrupo fixo de 4 associados fundadores. Quantas comissões diferentes atendem a essa condição?
- a) 4543
- b) 4005
- c) 4862
- d) 5005
- e) 3980
Resposta: alternativa a. O total de comissões sem restrição é C(15,6) = 5005. O princípio complementar remove as comissões sem nenhum fundador, formadas inteiramente pelos outros 11 associados: C(11,6) = 462. Logo, 5005 − 462 = 4543.
Questão 10
Uma turma tem 8 alunos de exatas e 5 alunos de humanas. Será formado um grupo de estudo com 5 alunos, que deve ter exatamente 3 alunos de exatas e 2 de humanas, ou então exatamente 4 alunos de exatas e 1 de humanas. De quantas maneiras esse grupo pode ser montado, somando as duas possibilidades?
- a) 910
- b) 980
- c) 840
- d) 1120
- e) 770
Resposta: alternativa a. No primeiro caso, C(8,3) × C(5,2) = 56 × 10 = 560. No segundo caso, C(8,4) × C(5,1) = 70 × 5 = 350. Como os dois casos são mutuamente exclusivos, o princípio aditivo soma 560 + 350 = 910.
Em todas as quatro questões anteriores, a resposta resulta da derivação matemática direta: basta recalcular os fatoriais envolvidos e aplicar o princípio de contagem indicado em cada caso.
Perguntas frequentes sobre exercícios de combinação
Qual é a fórmula usada nos exercícios de combinação?
A fórmula é C(n,p) = n! / (p!(n-p)!), em que n é o total de elementos do conjunto e p é o tamanho do agrupamento selecionado, sem repetição e sem considerar a ordem interna.
Qual a diferença entre combinação e arranjo nos exercícios?
No arranjo, trocar a posição de dois elementos escolhidos gera um resultado diferente, como ocorre ao definir quem fica em primeiro e em segundo lugar. Na combinação, essa troca não altera o grupo formado, como ocorre ao escolher os integrantes de uma comissão.
Combinação pode aparecer junto com outros princípios de contagem nos exercícios?
Sim. As questões avançadas deste artigo mostram combinação associada ao princípio multiplicativo, quando duas escolhas independentes se combinam, ao princípio aditivo, quando há casos mutuamente exclusivos que se somam, e ao princípio complementar, quando é mais simples calcular o total e subtrair os casos indesejados.
Como resolver exercícios de combinação com elementos obrigatórios ou proibidos?
Quando um elemento é obrigatório, ele é fixado fora do cálculo e a combinação é aplicada apenas às vagas restantes entre os elementos disponíveis. Quando um elemento ou par de elementos é proibido, o princípio complementar permite calcular o total sem restrição e subtrair os casos em que a proibição é violada.
Qual é um erro possível ao resolver exercícios de combinação?
Um erro possível é aplicar a fórmula de arranjo quando o enunciado pede apenas seleção, o que infla o resultado ao multiplicar por ordenações internas que o problema não exige. Também é preciso verificar se o enunciado permite usar casos complementares para organizar a contagem.
Como continuar praticando exercícios de combinação depois destes dez?
O caminho mais direto é refazer as questões que geraram dúvida aplicando o roteiro de quatro passos antes de olhar a resposta. Depois, crie variações dos mesmos enunciados — mudando o total de elementos ou o tamanho do grupo — e confira se o critério da ordem continua sendo identificado corretamente.
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