10 exercícios de determinantes com gabarito

Em resumo:

• Determinante só existe para matrizes quadradas; matrizes retangulares não entram nesse cálculo.
• Na ordem 2, o determinante é a diferença entre os produtos das duas diagonais.
• Na ordem 3, a regra de Sarrus organiza o cálculo a partir das diagonais estendidas.

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada, ou seja, a uma matriz com o mesmo número de linhas e colunas. Matrizes retangulares, com número diferente de linhas e colunas, não possuem determinante.

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Na matriz de ordem 1, formada por um único elemento, o determinante é igual ao próprio elemento. Por exemplo, se A = [7], então det(A) = 7.

Na matriz de ordem 2, o determinante é calculado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária: det(A) = a11·a22 − a21·a12.

Exercícios sobre determinantes

Exercício 1

Considere a matriz A, com a primeira linha formada pelos números 2 e 3, e a segunda linha formada pelos números 1 e 4. Qual é o valor de det(A)?

1. 5
2. 11
3. -5
4. 8
5. 2

Resolução: det(A) = 2·4 − 3·1 = 8 − 3 = 5. A alternativa correta é a primeira.

Exercício 2

Considere a matriz B, com a primeira linha formada pelos números 5 e -2, e a segunda linha formada pelos números 3 e 4. Qual é o valor de det(B)?

1. 14
2. 26
3. -26
4. 20
5. 6

Resolução: det(B) = 5·4 − (−2)·3 = 20 + 6 = 26. A alternativa correta é a segunda.

Exercício 3

Considere a matriz C, com a primeira linha formada pelos números 0 e 7, e a segunda linha formada pelos números 7 e 0. Qual é o valor de det(C)?

1. 0
2. 49
3. -49
4. 14
5. -14

Resolução: det(C) = 0·0 − 7·7 = 0 − 49 = -49. A alternativa correta é a terceira.

Exercício 4

Considere a matriz D, com as linhas (1, 2, 3), (0, 1, 4) e (5, 6, 0). Qual é o valor de det(D)?

1. 1
2. -1
3. 9
4. -9
5. 0

Resolução: pela regra de Sarrus, a soma das diagonais principais é (1·1·0) + (2·4·5) + (3·0·6) = 0 + 40 + 0 = 40. A soma das diagonais secundárias é (3·1·5) + (1·4·6) + (2·0·0) = 15 + 24 + 0 = 39. O determinante é 40 − 39 = 1. A alternativa correta é a primeira.

Exercício 5

Considere a matriz E, com as linhas (2, 0, 1), (3, 1, 0) e (0, 2, 1). Qual é o valor de det(E)?

1. 6
2. 4
3. 3
4. -4
5. 0

Resolução: as diagonais principais somam (1·3·4) + (1·1·1) + (1·2·1) = 12 + 1 + 2 = 15. As diagonais secundárias somam (1·3·1) + (1·1·1) + (1·2·4) = 3 + 1 + 8 = 12. O determinante é 15 − 12 = 3. A alternativa correta é a terceira.

Exercício 6

Considere a matriz F, com as linhas (1, 1, 1), (2, 3, 1) e (1, 1, 4). Qual é o valor de det(F)?

1. 6
2. 4
3. -4
4. -6
5. 0

Resolução: as diagonais principais somam (1·3·4) + (1·1·1) + (1·2·1) = 12 + 1 + 2 = 15. As diagonais secundárias somam (1·3·1) + (1·1·2) + (1·1·4) = 3 + 2 + 4 = 9. O determinante é 15 − 9 = 6. A alternativa correta é a primeira.

Exercício 7

Considere a matriz G, com a primeira linha formada pelos números x e 2, e a segunda linha formada pelos números 3 e 4. Para qual valor de x o determinante de G é igual a zero?

1. x = 1,5
2. x = 2
3. x = -1,5
4. x = 0
5. x = 3

Resolução: det(G) = 4x − 6. Igualando a zero, 4x − 6 = 0, logo x = 1,5. A alternativa correta é a primeira.

Exercício 8

Considere a matriz H, com a primeira linha formada pelos números 2 e x, e a segunda linha formada pelos números 1 e 5. Para qual valor de x o determinante de H é igual a 5?

1. x = 5
2. x = 1
3. x = -5
4. x = 0
5. x = 10

Resolução: det(H) = 10 − x. Igualando a 5, 10 − x = 5, logo x = 5. A alternativa correta é a primeira.

Exercício 9

Considere a matriz I, com as linhas (1, 0, 2), (3, 1, 1) e (0, 2, 1). Qual é o valor de det(I)?

1. 11
2. 9
3. -9
4. -3
5. 0

Resolução: as diagonais principais somam (1·1·1) + (0·1·0) + (2·3·2) = 1 + 0 + 12 = 13. As diagonais secundárias somam (2·1·0) + (1·1·2) + (0·3·1) = 0 + 2 + 0 = 2. O determinante é 13 − 2 = 11. A alternativa correta é a primeira.

Exercício 10

Considere a matriz J, com a primeira linha formada pelos números x e 1, e a segunda linha formada pelos números 4 e 2. Para qual valor de x o determinante de J é igual a -4?

1. x = -1
2. x = 1
3. x = -2
4. x = 2
5. x = 0

Resolução: det(J) = 2x − 4. Igualando a -4, 2x − 4 = -4, logo x = 0. A alternativa correta é a quinta.

Perguntas frequentes sobre exercícios de determinantes

O que é o determinante de uma matriz?

É um número único associado a uma matriz quadrada, calculado a partir dos seus elementos, usado para analisar propriedades da matriz, como dependência entre linhas, e para resolver sistemas lineares.

Toda matriz tem determinante?

Não. Somente matrizes quadradas, ou seja, com número igual de linhas e colunas, possuem determinante. Matrizes retangulares não entram nesse cálculo.

Qual é o determinante de uma matriz de ordem 1?

É igual ao próprio elemento da matriz. Se a matriz tem um único elemento, esse número já é o determinante.

Como calcular o determinante de uma matriz 2×2?

Subtraindo o produto dos elementos da diagonal secundária do produto dos elementos da diagonal principal: det(A) = a11·a22 − a21·a12.

Como calcular o determinante de uma matriz 3×3?

Pela regra de Sarrus: repetem-se as duas primeiras colunas à direita da matriz, somam-se os produtos das diagonais na direção principal e subtraem-se os produtos das diagonais na direção secundária.

Quando o determinante é igual a zero?

Nos exercícios com incógnita, calcule a expressão do determinante e iguale o resultado a zero. No Exercício 7, por exemplo, 4x − 6 = 0, então x = 1,5.

Onde os determinantes são usados na prática?

Eles aparecem na verificação do alinhamento de três pontos no plano, no cálculo de áreas de triângulos a partir de coordenadas e na resolução de sistemas lineares por métodos como a regra de Cramer.

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