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Máximo Divisor Comum (MDC): o que é, como calcular e exemplos

12 de agosto
Máximo Divisor Comum (MDC): o que é, como calcular e exemplos
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Escrito porLivia Giner

O Máximo Divisor Comum, conhecido como MDC, é um conceito que desempenha um papel crucial em diversos cálculos e simplificações. 

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Parte da aritmética, área da matemática que lida com as operações, ele é utilizado para resolver problemas envolvendo divisores. Números divisores são aqueles que dividem um número em partes exatas, ou seja, não deixam resto. Continue lendo para saber mais.

O que é o Máximo Divisor Comum (MDC)

O Máximo Divisor Comum (MDC) é o maior valor que divide dois ou mais números inteiros, resultando em um quociente inteiro. O MDC é representado pelo símbolo “(a, b)” quando referente a dois números “a” e “b”, ou “(a, b, c)” quando envolvendo mais números. Em outras palavras, o MDC é a maior quantidade pela qual todos os números podem ser divididos de forma exata.

Exemplo 1: Calcular o MDC de 12 e 18.

  • Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
  • Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

O maior divisor comum entre 12 e 18 é 6.

Exemplo 2: Calcular o MDC de 24, 36 e 48.

  • Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
  • Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
  • Divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

O maior divisor comum entre 24, 36 e 48 é 12.

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Aplicações práticas do Máximo Divisor Comum 

máximo divisor comum MDC

Uma das aplicações mais comuns do MDC é na simplificação de frações. Quando encontramos o Máximo Divisor Comum do numerador e denominador de uma fração, podemos dividir ambos por ele para obter uma fração equivalente, porém reduzida ao menor termo.

Além disso, o MDC é usado em problemas que envolvem o cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e nas equações diofantinas, que são equações com soluções inteiras.

Métodos de cálculo do Máximo Divisor Comum

Para calcular o MDC, existem diferentes métodos que podem ser utilizados, cada um com suas particularidades e vantagens. 

Método da decomposição em fatores primos:

O método da decomposição em fatores primos consiste em decompor cada número em sua forma fatorada, ou seja, expressá-los como a multiplicação de seus fatores primos. Em seguida, identificamos os fatores primos comuns aos números e multiplicamos esses fatores para encontrar o Máximo Divisor Comum.

Exemplo: Vamos calcular o MDC de 24 e 36 usando a decomposição em fatores primos:

  • 24 = 2³ * 3¹
  • 36 = 2²* 3²

Os fatores primos comuns são 2²e 3¹, então o MDC é 2² * 3¹ = 12.

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Algoritmo de Euclides

O método da divisão sucessiva, também conhecido como algoritmo de Euclides, é um método mais rápido e eficiente para calcular o Máximo Divisor Comum entre dois números. 

Ele se baseia na ideia de que o MDC de dois números é o mesmo que o MDC entre o divisor menor e o resto da divisão do maior pelo menor. Esse processo é repetido até que o resto da divisão seja igual a zero.

Exemplo: Vamos calcular o MDC de 48 e 18 usando o algoritmo de Euclides:

48 ÷ 18 = 2 com resto 12
18 ÷ 12 = 1 com resto 6
12 ÷ 6 = 2 com resto 0

O MDC é o último divisor não nulo, que é 6.

Comparação e vantagens de cada método:

Ambos os métodos são eficazes para calcular o Máximo Divisor Comum, mas cada um pode ser mais adequado dependendo da situação. 

A decomposição em fatores primos é útil para encontrar o MDC de números grandes ou quando é necessário identificar os fatores comuns de forma visual. Já o algoritmo de Euclides é mais rápido e prático, sendo preferível para cálculos envolvendo números maiores.

Propriedades do Máximo Divisor Comum

máximo divisor comum MDC

Além de sua função fundamental em simplificação de frações e cálculos matemáticos, o MDC possui propriedades que tornam seu estudo ainda mais relevante. 

Comutatividade e associação:

Uma das propriedades notáveis do Máximo Divisor Comum é sua comutatividade, ou seja, a ordem dos números não altera o resultado do cálculo. 

Por exemplo, o MDC entre 12 e 18 é o mesmo que entre 18 e 12, resultando em 6 em ambos os casos. Além disso, o MDC é associativo, o que significa que o agrupamento de três ou mais números para calculá-lo não afeta o resultado final. 

Essas propriedades tornam o cálculo mais prático e versátil, permitindo-nos manipular os números de diferentes maneiras sem alterar o resultado.

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Relação do MDC com o Mínimo Múltiplo Comum (MMC):

O Máximo Divisor Comum está intimamente relacionado com outro conceito importante da matemática, o Mínimo Múltiplo Comum (MMC). Enquanto o MDC representa o maior divisor comum entre os números, o MMC representa o menor múltiplo comum entre eles. 

Esses dois conceitos estão conectados pela seguinte propriedade: o produto do MDC e do MMC de dois números é igual ao produto dos próprios números. Matematicamente, isso é representado como MDC(a, b) * MMC(a, b) = a * b. Essa relação entre o MDC e o MMC é extremamente útil em várias situações, especialmente ao resolver problemas envolvendo múltiplos e divisores.

Utilização do Máximo Divisor Comum em problemas de otimização:

O Máximo Divisor Comum também é amplamente aplicado em problemas de otimização, nos quais buscamos encontrar a melhor solução possível com base em certas restrições ou critérios. 

Por exemplo, ao realizar a distribuição de itens ou recursos entre várias partes, o MDC pode ser usado para garantir que a divisão seja feita de forma justa e igualitária. Da mesma forma, em situações que envolvem períodos de repetição ou ciclos, o MDC pode ser usado para determinar o menor intervalo de tempo em que um evento se repetirá.

Exercícios 

Questão 1: (Bio – Rio) O MDC entre 2³.3.5² e 2².3.7² é igual a:

a) 6
b) 12
c) 60
d) 50
e) 300

Resposta: Para solucionar essa questão, não é necessário utilizar o método das divisões sucessivas. Como os números foram escritos como produtos de números primos, basta compará-los, pois os fatores que se repetem em ambos os números indicam o MDC:

2³.3.5² = 2.2.2.3.5.5
2².3.7² = 2.2.3.7.7

Observe que nos dois números vemos a repetição do produto 2.2.3, que resulta em 12. Podemos concluir que o MDC (2³.3.5², 2².3.7²) é igual a 12. Portanto, a alternativa correta é a letra B.

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Questão 2: (Enem 2015) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano, serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos:

1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão;
2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos;
3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos).

O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é:

A) 2
B) 4
C) 9
D) 40
E) 80

Resposta: Para encontrar o MDC, vamos multiplicar os números que são divisores tanto de 320 quanto de 400:

MDC (400, 320) = 24 · 5 = 16 · 5 = 80.

Cada escola receberá 80 ingressos, logo 720 : 80 = 9 escolas. A resposta correta é a alternativa C.

Questão 3: Uma professora tem 16 metros de fita azul e 24 metros de fita vermelha. Ela deseja cortá-las em pedaços do mesmo tamanho, mas que tenham o maior comprimento possível. Qual será o tamanho de cada fita e qual o número de fitas azuis e vermelhas ela vai obter?

Resposta: O maior comprimento possível, igual entre as fitas azuis e vermelhas, é o MDC entre 16 e 24.

MDC(16, 24) = 2 . 2 . 2 = 8

Portanto, cada pedaço de fita deverá ter 8 metros.

16 : 8 = 2    ⇒ serão 2 fitas azuis.
24 : 8 = 3   ⇒ serão 3 fitas vermelhas.

Questão 4: (Enem 2015) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1.080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m.

Atendendo ao pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir:

A) 105 peças
B) 120 peças
C) 210 peças
D) 243 peças
E) 420 peças

Resposta: Calcularemos o MDC entre 540, 810 e 1080:

540 = 2 · 3³ · 5
810 = 34 · 2 · 5
1080 = 2² · 3³ · 5

MDC (540, 810, 1080) = 3³ · 2 · 5 = 270

Mas as peças não podem ter 270 cm. O maior divisor de 270 é 135, então cada peça deve ter 135 cm: (40 · 540 + 30 · 810 + 10 · 1080) : 135 = 420 peças. A resposta correta é a alternativa E.

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